Om Galtonbrættet | Tilfældighed, Pascals trekant og klokkekurven

Francis Galtons maskine

Francis Galton, en victoriansk videnskabsmand med en passion for arvelighed og statistik, byggede det første bræt i 1870'erne. Han beskrev det i sin bog Natural Inheritance i 1889. Han kaldte det en quincunx efter mønstret med fem prikker på en terning, som de forskudte søm gentager.

Ét hop ad gangen

Ved hvert søm går en kugle til venstre eller højre med lige stor chance, som ved et møntkast. Efter n rækker har den truffet n sådanne valg. Dens beholder er det antal gange, den gik til højre. Rækkefølgen er ligegyldig: højre og så venstre ender samme sted som venstre og så højre.

Pascals trekant tæller vejene

Skriv 1 ved det øverste søm. Ved hvert af de andre søm lægger du de to tal over det sammen. Det er Pascals trekant, og hvert tal tæller de veje, der når det søm. Den sidste række giver vejene ned i hver beholder. Ved 12 rækker lyder den 1, 12, 66, 220, 495, 792, 924 og så ned igen.

Binomialfordelingen

Del vejene ned i en beholder med alle 2ⁿ veje, så har du chancen for at lande der. Det er binomialfordelingen. På et fair bræt er middelværdien n/2 og standardafvigelsen √n/2. Med en hældning p bliver middelværdien n·p og spredningen √(n·p·(1−p)).

Fra beholdere til klokkekurve

Når antallet af rækker vokser, tegner søjlerne i binomialfordelingen den glatte normalfordelingskurve, klokkekurven. Abraham de Moivre viste det i 1733. Det er et første tilfælde af den centrale grænseværdisætning: læg mange små, uafhængige, tilfældige skridt sammen, og summen følger en klokkekurve.

Hvorfor beholderne aldrig er præcise

Hver kugle er tilfældig, så beholderne svinger omkring deres forventede højder. En beholder, der burde rumme omkring N kugler, afviger som regel med omkring √N. Slip 100 kugler, og formen er grov. Slip 5000, og den følger kurven tæt.

Galton og regression mod middelværdien

Galton brugte brættet i sit arbejde med arvelighed. Han lagde mærke til, at meget høje forældre ofte får børn, der er høje, men tættere på gennemsnittet. Han kaldte det regression mod middelværdien, en idé, der i dag bruges overalt i statistikken.

Prøv det i PictorX

Åbn Galtonbrættet, så begynder kuglerne at falde med det samme. Rækker bestemmer antallet af hop, Kugler hvor mange der falder, og Hældning chancen for at gå til højre. Klokkekurve viser de forventede højder, og tallene under beholderne tæller kuglerne. Slå Pascals trekant til for at se vejene, og gem derefter et PNG.

Ofte stillede spørgsmål

Hvem opfandt Galtonbrættet?

Francis Galton byggede det i 1870'erne og beskrev det i 1889 i sin bog Natural Inheritance.

Hvad er forskellen på binomialfordelingen og normalfordelingen?

Binomialfordelingen tæller antallet af succeser i et fast antal ja-eller-nej-forsøg, som hoppene til højre på et bræt. Normalfordelingen er den glatte klokkekurve, som den nærmer sig, når antallet af forsøg er stort.

Hvorfor kaldes det en quincunx?

En quincunx er mønstret med fem prikker på en terning: fire i hjørnerne og én i midten. De forskudte rækker af søm gentager det mønster.

Giver et rigtigt Galtonbræt en perfekt klokkekurve?

Ikke helt. Rigtige kugler støder ind i hinanden og kan hoppe mere end ét trin ad gangen, hvilket gør klokken lidt bredere. Hoppene i denne simulation er uafhængige, som på et ideelt bræt.