갈톤 보드에 대하여 | 우연, 파스칼의 삼각형, 종 모양 곡선

프랜시스 골턴의 기계

유전과 통계에 열정을 쏟은 빅토리아 시대의 과학자 프랜시스 골턴은 1870년대에 첫 보드를 만들었습니다. 그는 1889년에 펴낸 책 《자연 유전》(Natural Inheritance)에서 이 보드를 소개했습니다. 그는 이것을 퀸컹크스(quincunx)라고 불렀습니다. 주사위의 다섯 점 무늬에서 따온 이름이며, 엇갈려 박힌 핀들이 그 무늬를 되풀이합니다.

튕김 하나하나

구슬은 핀마다 동전 던지기처럼 같은 확률로 왼쪽이나 오른쪽으로 갑니다. n줄을 지나면 이런 선택을 n번 한 셈입니다. 구슬이 들어가는 칸은 오른쪽으로 간 횟수입니다. 순서는 상관없습니다. 오른쪽 다음 왼쪽은 왼쪽 다음 오른쪽과 같은 곳에 도착합니다.

파스칼의 삼각형이 경로를 센다

맨 위 핀에 1을 씁니다. 다른 모든 핀에는 바로 위의 두 수를 더해 씁니다. 이것이 파스칼의 삼각형이며, 각 수는 그 핀에 이르는 경로의 수입니다. 마지막 줄은 각 칸으로 들어가는 경로의 수를 알려 줍니다. 12줄이면 1, 12, 66, 220, 495, 792, 924로 올라갔다가 다시 거꾸로 내려옵니다.

이항분포

한 칸으로 가는 경로의 수를 전체 경로 2ⁿ개로 나누면, 그 칸에 들어갈 확률이 나옵니다. 이것이 이항분포입니다. 공정한 보드에서 평균은 n/2, 표준편차는 √n/2입니다. 편향이 p이면 평균은 n·p, 퍼짐은 √(n·p·(1−p))가 됩니다.

칸에서 종 모양 곡선으로

줄이 늘어날수록 이항분포의 막대들은 매끄러운 정규분포 곡선, 곧 종 모양 곡선을 그려 냅니다. 아브라암 드 무아브르가 1733년에 이것을 보였습니다. 이것은 중심극한정리의 첫 사례입니다. 작고 독립적인 무작위 걸음을 많이 더하면, 그 합은 종 모양 곡선을 따릅니다.

칸들이 결코 정확하지 않은 이유

구슬 하나하나가 무작위이므로, 칸들은 예상 높이 주위에 흩어집니다. 구슬이 약 N개 들어가야 할 칸은 보통 √N개쯤 어긋납니다. 100개를 떨어뜨리면 모양이 거칠고, 5000개를 떨어뜨리면 곡선에 꼭 붙습니다.

골턴과 평균으로의 회귀

골턴은 유전 연구에 이 보드를 썼습니다. 그는 키가 아주 큰 부모의 자녀가 키는 크지만 평균에 더 가까운 경향이 있다는 것을 알아차렸습니다. 그는 이것을 평균으로의 회귀라고 불렀고, 이 개념은 지금 통계학 전반에서 쓰입니다.

PictorX에서 해 보기

갈톤 보드를 열면 구슬이 곧바로 떨어지기 시작합니다. 줄 수는 튕기는 횟수를, 구슬은 떨어지는 구슬의 개수를, 편향은 오른쪽으로 갈 확률을 정합니다. 종 모양 곡선은 예상 높이를 보여 주고, 칸 아래의 숫자는 구슬을 셉니다. 파스칼의 삼각형을 켜서 경로를 본 다음, PNG를 저장하세요.

자주 묻는 질문

갈톤 보드는 누가 발명했나요?

프랜시스 골턴이 1870년대에 만들었고, 1889년에 책 《자연 유전》(Natural Inheritance)에서 소개했습니다.

이항분포와 정규분포는 어떻게 다른가요?

이항분포는 정해진 횟수의 예/아니요 시행에서 성공한 횟수를 셉니다. 보드에서 오른쪽으로 튕긴 횟수가 그 예입니다. 정규분포는 시행 횟수가 클 때 이항분포가 가까워지는 매끄러운 종 모양 곡선입니다.

왜 퀸컹크스라고 부르나요?

퀸컹크스는 주사위의 다섯 점 무늬입니다. 네 모서리에 하나씩, 가운데에 하나가 있습니다. 엇갈려 늘어선 핀의 줄들이 이 무늬를 되풀이합니다.

실제 갈톤 보드는 완벽한 종 모양 곡선을 만드나요?

꼭 그렇지는 않습니다. 실제 구슬은 서로 부딪히고 한 번에 한 칸 넘게 튕길 수도 있어서, 종이 조금 넓어집니다. 이 시뮬레이션에서는 이상적인 보드에서처럼 튕김이 서로 독립적입니다.

관련 도구

시도해 볼 준비가 되셨나요?

브라우저에서 PictorX를 엽니다. 설치가 필요 없고 시작하는 데 신용 카드가 필요하지 않습니다.

갈톤 보드 해 보기