Sobre o tabuleiro de Galton | Acaso, triângulo de Pascal e curva de sino

A máquina de Francis Galton

Francis Galton, um cientista vitoriano apaixonado por hereditariedade e estatística, construiu o primeiro tabuleiro na década de 1870. Ele o descreveu em seu livro Natural Inheritance, em 1889. Ele o chamou de quincunce, por causa do padrão de cinco pontos de um dado, que os pinos intercalados repetem.

Um quique de cada vez

Em cada pino, uma esfera vai para a esquerda ou para a direita com a mesma chance, como no lançamento de uma moeda. Depois de n fileiras, ela fez n escolhas desse tipo. O compartimento dela é o número de vezes que ela foi para a direita. A ordem não importa: direita e depois esquerda termina no mesmo lugar que esquerda e depois direita.

O triângulo de Pascal conta os caminhos

Escreva 1 no pino do topo. Em cada um dos outros pinos, some os dois números acima dele. Esse é o triângulo de Pascal, e cada número conta os caminhos que chegam àquele pino. A última fileira dá os caminhos até cada compartimento. Para 12 fileiras, ela segue 1, 12, 66, 220, 495, 792, 924 e depois desce de volta.

A distribuição binomial

Divida os caminhos até um compartimento pelo total de 2ⁿ caminhos e você tem a chance de cair ali. Essa é a distribuição binomial. Num tabuleiro equilibrado, a média é n/2 e o desvio padrão é √n/2. Com um viés p, a média passa a ser n·p e a dispersão, √(n·p·(1−p)).

Dos compartimentos à curva de sino

À medida que as fileiras aumentam, as barras da distribuição binomial desenham a curva normal suave, a curva de sino. Abraham de Moivre mostrou isso em 1733. É um primeiro caso do teorema central do limite: some muitos passos aleatórios pequenos e independentes, e o total segue uma curva de sino.

Por que os compartimentos nunca são exatos

Cada esfera é aleatória, por isso os compartimentos variam em torno das alturas esperadas. Um compartimento que deveria ter cerca de N esferas costuma errar por cerca de √N. Solte 100 esferas e a forma fica irregular. Solte 5000 e ela acompanha a curva de perto.

Galton e a regressão à média

Galton usou o tabuleiro em seu trabalho sobre hereditariedade. Ele notou que pais muito altos tendem a ter filhos altos, mas mais próximos da média. Ele chamou isso de regressão à média, uma ideia hoje usada em toda a estatística.

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Abra o Tabuleiro de Galton e as esferas começam a cair na hora. Fileiras define o número de quiques, Esferas quantas caem e Viés a chance de ir para a direita. A Curva de sino mostra as alturas esperadas, e os números sob os compartimentos contam as esferas. Ative o Triângulo de Pascal para ver os caminhos e depois salve um PNG.

Perguntas frequentes

Quem inventou o tabuleiro de Galton?

Francis Galton o construiu na década de 1870 e o descreveu em 1889 em seu livro Natural Inheritance.

Qual é a diferença entre a distribuição binomial e a normal?

A distribuição binomial conta os sucessos em um número fixo de ensaios do tipo sim ou não, como os quiques para a direita num tabuleiro. A distribuição normal é a curva de sino suave da qual ela se aproxima quando o número de ensaios é grande.

Por que ele se chama quincunce?

Um quincunce é o padrão de cinco pontos de um dado: quatro nos cantos e um no meio. As fileiras intercaladas de pinos repetem esse padrão.

Um tabuleiro de Galton real dá uma curva de sino perfeita?

Não exatamente. Esferas reais batem umas nas outras e podem quicar mais de um passo de uma vez, o que alarga um pouco o sino. Os quiques nesta simulação são independentes, como num tabuleiro ideal.