गैल्टन बोर्ड के बारे में | संयोग, पास्कल त्रिभुज और घंटाकार वक्र

फ़्रांसिस गैल्टन की मशीन

विक्टोरियन युग के वैज्ञानिक फ़्रांसिस गैल्टन ने, जिन्हें आनुवंशिकता और सांख्यिकी से गहरा लगाव था, 1870 के दशक में पहला बोर्ड बनाया। उन्होंने 1889 में अपनी पुस्तक प्राकृतिक वंशानुक्रम (Natural Inheritance) में इसका वर्णन किया। उन्होंने इसे क्विनकंक्स कहा, पासे पर पाँच बिंदुओं के उस पैटर्न के नाम पर जिसे एक-दूसरे से हटकर लगी कीलें दोहराती हैं।

एक बार में एक उछाल

हर कील पर गेंद बराबर संभावना से बाएँ या दाएँ जाती है, सिक्का उछालने की तरह। n पंक्तियों के बाद वह ऐसे n चुनाव कर चुकी होती है। उसका खाना वह संख्या है जितनी बार वह दाएँ गई। क्रम मायने नहीं रखता: पहले दाएँ फिर बाएँ उसी जगह पहुँचाता है जहाँ पहले बाएँ फिर दाएँ।

पास्कल त्रिभुज रास्ते गिनता है

सबसे ऊपर की कील पर 1 लिखें। बाकी हर कील पर उसके ऊपर की दो संख्याएँ जोड़ें। यही पास्कल त्रिभुज है, और हर संख्या उस कील तक पहुँचने वाले रास्ते गिनती है। अंतिम पंक्ति हर खाने में जाने वाले रास्ते देती है। 12 पंक्तियों के लिए यह 1, 12, 66, 220, 495, 792, 924 तक जाती है और फिर वापस घटती है।

द्विपद बंटन

किसी खाने में जाने वाले रास्तों को सभी 2ⁿ रास्तों से भाग दें, और आपको वहाँ पहुँचने की प्रायिकता मिल जाती है। यही द्विपद बंटन है। निष्पक्ष बोर्ड पर माध्य n/2 और मानक विचलन √n/2 होता है। झुकाव p होने पर माध्य n·p और फैलाव √(n·p·(1−p)) हो जाता है।

खानों से घंटाकार वक्र तक

जैसे-जैसे पंक्तियाँ बढ़ती हैं, द्विपद बंटन के स्तंभ चिकने प्रसामान्य वक्र, यानी घंटाकार वक्र, की रूपरेखा बनाने लगते हैं। अब्राहम डी मॉयवर ने 1733 में यह दिखाया। यह केंद्रीय सीमा प्रमेय का पहला उदाहरण है: बहुत-से छोटे, स्वतंत्र यादृच्छिक कदम जोड़ें, और कुल योग घंटाकार वक्र का अनुसरण करता है।

खाने कभी सटीक क्यों नहीं होते

हर गेंद यादृच्छिक है, इसलिए खाने अपनी अपेक्षित ऊँचाइयों के आसपास बिखरे रहते हैं। जिस खाने में लगभग N गेंदें होनी चाहिए, उसमें आमतौर पर लगभग √N का अंतर होता है। 100 गेंदें गिराएँ तो आकार खुरदुरा रहता है। 5000 गिराएँ तो वह वक्र से सटा रहता है।

गैल्टन और माध्य की ओर प्रतिगमन

गैल्टन ने आनुवंशिकता पर अपने काम में इस बोर्ड का उपयोग किया। उन्होंने देखा कि बहुत लंबे माता-पिता के बच्चे आमतौर पर लंबे होते हैं, पर औसत के ज़्यादा करीब। उन्होंने इसे माध्य की ओर प्रतिगमन कहा, एक विचार जो आज पूरी सांख्यिकी में उपयोग होता है।

PictorX में आज़माएँ

गैल्टन बोर्ड खोलें और गेंदें तुरंत गिरने लगती हैं। पंक्तियाँ से उछालों की संख्या तय होती है, गेंदें से यह कि कितनी गेंदें गिरेंगी, और झुकाव से दाएँ जाने की प्रायिकता। घंटाकार वक्र अपेक्षित ऊँचाइयाँ दिखाता है, और खानों के नीचे की संख्याएँ गेंदें गिनती हैं। रास्ते देखने के लिए पास्कल त्रिभुज चालू करें, फिर PNG सहेजें।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

गैल्टन बोर्ड का आविष्कार किसने किया?

फ़्रांसिस गैल्टन ने इसे 1870 के दशक में बनाया और 1889 में अपनी पुस्तक प्राकृतिक वंशानुक्रम (Natural Inheritance) में इसका वर्णन किया।

द्विपद बंटन और प्रसामान्य बंटन में क्या अंतर है?

द्विपद बंटन हाँ-या-ना वाले परीक्षणों की एक निश्चित संख्या में सफलताएँ गिनता है, जैसे बोर्ड पर दाएँ उछाल। प्रसामान्य बंटन वह चिकना घंटाकार वक्र है जिसके पास द्विपद बंटन तब पहुँचता है जब परीक्षणों की संख्या बड़ी हो।

इसे क्विनकंक्स क्यों कहते हैं?

क्विनकंक्स पासे पर पाँच बिंदुओं का पैटर्न है: चार कोनों में और एक बीच में। कीलों की एक-दूसरे से हटकर लगी पंक्तियाँ वही पैटर्न दोहराती हैं।

क्या असली गैल्टन बोर्ड एकदम सही घंटाकार वक्र देता है?

पूरी तरह नहीं। असली गेंदें आपस में टकराती हैं और एक बार में एक से ज़्यादा कदम उछल सकती हैं, जिससे घंटी थोड़ी चौड़ी हो जाती है। इस सिम्युलेशन में उछाल स्वतंत्र हैं, जैसे किसी आदर्श बोर्ड पर।