Máquina de Galton
Una máquina de Galton es un tablero con filas de clavos y una hilera de casillas abajo. Las bolas que se dejan caer desde arriba rebotan a la izquierda o a la derecha en cada clavo. Ninguna bola por sí sola se puede predecir, pero mil de ellas siempre se amontonan con la misma forma: una campana de Gauss.
La máquina de Francis Galton
Francis Galton, un científico victoriano apasionado por la herencia y la estadística, construyó el primer tablero en la década de 1870. Lo describió en su libro Natural Inheritance en 1889. Lo llamó quincunce, por la disposición de los cinco puntos de un dado, que los clavos escalonados repiten.
Un rebote cada vez
En cada clavo, una bola va a la izquierda o a la derecha con la misma probabilidad, como al lanzar una moneda. Tras n filas ha tomado n decisiones así. Su casilla es el número de veces que fue a la derecha. El orden no importa: derecha y luego izquierda acaba en el mismo sitio que izquierda y luego derecha.
El triángulo de Pascal cuenta los caminos
Escribe 1 en el clavo de arriba. En cada uno de los demás clavos, suma los dos números que tiene encima. Ese es el triángulo de Pascal, y cada número cuenta los caminos que llegan a ese clavo. La última fila da los caminos hacia cada casilla. Para 12 filas es 1, 12, 66, 220, 495, 792, 924 y vuelve a bajar.
La distribución binomial
Divide los caminos hacia una casilla entre el total de 2ⁿ caminos y tendrás la probabilidad de caer allí. Esa es la distribución binomial. En un tablero equilibrado, la media es n/2 y la desviación estándar √n/2. Con un sesgo p, la media pasa a ser n·p y la dispersión √(n·p·(1−p)).
De las casillas a la campana de Gauss
A medida que aumentan las filas, las barras de la distribución binomial dibujan la suave curva normal, la campana de Gauss. Abraham de Moivre lo demostró en 1733. Es un primer caso del teorema del límite central: suma muchos pasos aleatorios pequeños e independientes, y el total sigue una campana de Gauss.
Por qué las casillas nunca son exactas
Cada bola es aleatoria, así que las casillas se dispersan alrededor de sus alturas esperadas. Una casilla que debería tener unas N bolas suele desviarse en unas √N. Deja caer 100 bolas y la forma es tosca. Deja caer 5000 y se ciñe a la curva.
Galton y la regresión a la media
Galton usó el tablero en su trabajo sobre la herencia. Observó que los padres muy altos suelen tener hijos altos, pero más cerca de la media. Lo llamó regresión a la media, una idea que hoy se usa en toda la estadística.
Pruébalo en PictorX
Abre la máquina de Galton y las bolas empiezan a caer enseguida. Filas fija el número de rebotes, Bolas cuántas caen y Sesgo la probabilidad de ir a la derecha. La campana de Gauss muestra las alturas esperadas, y los números bajo las casillas cuentan las bolas. Activa Triángulo de Pascal para ver los caminos y luego guarda un PNG.
Preguntas frecuentes
¿Quién inventó la máquina de Galton?
Francis Galton la construyó en la década de 1870 y la describió en 1889 en su libro Natural Inheritance.
¿Qué diferencia hay entre la distribución binomial y la normal?
La distribución binomial cuenta los éxitos en un número fijo de pruebas de sí o no, como los rebotes a la derecha en un tablero. La distribución normal es la suave campana de Gauss a la que se aproxima cuando el número de pruebas es grande.
¿Por qué se llama quincunce?
Un quincunce es la disposición de los cinco puntos de un dado: cuatro en las esquinas y uno en el centro. Las filas escalonadas de clavos repiten esa disposición.
¿Una máquina de Galton real da una campana de Gauss perfecta?
No del todo. Las bolas reales chocan entre sí y pueden rebotar más de un paso a la vez, lo que ensancha un poco la campana. En esta simulación los rebotes son independientes, como en un tablero ideal.
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