Om Galtonbrädan | Slump, Pascals triangel och klockkurvan

Francis Galtons maskin

Francis Galton, en viktoriansk vetenskapsman med en passion för ärftlighet och statistik, byggde den första brädan på 1870-talet. Han beskrev den i sin bok Natural Inheritance år 1889. Han kallade den en quincunx, efter mönstret med fem prickar på en tärning, som de förskjutna spikarna upprepar.

En studs i taget

Vid varje spik går en kula åt vänster eller höger med lika stor chans, som vid ett myntkast. Efter n rader har den gjort n sådana val. Dess fack är antalet gånger den gick åt höger. Ordningen spelar ingen roll: höger och sedan vänster hamnar på samma ställe som vänster och sedan höger.

Pascals triangel räknar vägarna

Skriv 1 vid den översta spiken. Vid var och en av de andra spikarna adderar du de två talen ovanför. Det är Pascals triangel, och varje tal räknar de vägar som når den spiken. Den sista raden ger vägarna ner i varje fack. Vid 12 rader går den 1, 12, 66, 220, 495, 792, 924 och sedan nedåt igen.

Binomialfördelningen

Dela vägarna ner i ett fack med alla 2ⁿ vägar, så får du chansen att hamna där. Det är binomialfördelningen. På en rättvis bräda är medelvärdet n/2 och standardavvikelsen √n/2. Med en lutning p blir medelvärdet n·p och spridningen √(n·p·(1−p)).

Från fack till klockkurva

När raderna blir fler ritar staplarna i binomialfördelningen upp den släta normalfördelningskurvan, klockkurvan. Abraham de Moivre visade detta 1733. Det är ett första fall av centrala gränsvärdessatsen: lägg ihop många små, oberoende slumpsteg, så följer summan en klockkurva.

Varför facken aldrig blir exakta

Varje kula är slumpmässig, så facken varierar kring sina förväntade höjder. Ett fack som borde rymma ungefär N kulor avviker oftast med ungefär √N. Släpp 100 kulor så är formen grov. Släpp 5000 så följer den kurvan tätt.

Galton och regression mot medelvärdet

Galton använde brädan i sitt arbete om ärftlighet. Han märkte att mycket långa föräldrar tenderar att få barn som är långa, men närmare genomsnittet. Han kallade detta regression mot medelvärdet, en idé som i dag används inom hela statistiken.

Prova det i PictorX

Öppna Galtonbrädan så börjar kulorna falla direkt. Rader anger antalet studsar, Kulor hur många som faller och Lutning chansen att gå åt höger. Klockkurva visar de förväntade höjderna, och talen under facken räknar kulorna. Slå på Pascals triangel för att se vägarna, och spara sedan en PNG.

Ofta ställda frågor

Vem uppfann Galtonbrädan?

Francis Galton byggde den på 1870-talet och beskrev den 1889 i sin bok Natural Inheritance.

Vad är skillnaden mellan binomialfördelningen och normalfördelningen?

Binomialfördelningen räknar antalet lyckade utfall i ett bestämt antal ja-eller-nej-försök, som studsarna åt höger på en bräda. Normalfördelningen är den släta klockkurva som den närmar sig när antalet försök är stort.

Varför kallas den quincunx?

En quincunx är mönstret med fem prickar på en tärning: fyra i hörnen och en i mitten. De förskjutna raderna av spikar upprepar det mönstret.

Ger en riktig Galtonbräda en perfekt klockkurva?

Inte riktigt. Riktiga kulor stöter i varandra och kan studsa mer än ett steg åt gången, vilket gör klockan lite bredare. Studsarna i den här simuleringen är oberoende, som på en idealisk bräda.