Despre tabla lui Galton | Hazard, triunghiul lui Pascal și curba clopot

Mașina lui Francis Galton

Francis Galton, un om de știință victorian pasionat de ereditate și statistică, a construit prima tablă în anii 1870. A descris-o în cartea sa Natural Inheritance, în 1889. A numit-o quincunx, după modelul celor cinci puncte de pe un zar, pe care cuiele așezate decalat îl repetă.

Câte un ricoșeu pe rând

La fiecare cui, o bilă merge la stânga sau la dreapta cu șanse egale, ca la aruncarea unei monede. După n rânduri, a făcut n astfel de alegeri. Compartimentul ei arată de câte ori a mers la dreapta. Ordinea nu contează: dreapta, apoi stânga ajunge în același loc ca stânga, apoi dreapta.

Triunghiul lui Pascal numără drumurile

Scrie 1 la cuiul din vârf. La fiecare dintre celelalte cuie, adună cele două numere de deasupra lui. Acesta este triunghiul lui Pascal, iar fiecare număr arată câte drumuri ajung la acel cui. Ultimul rând dă drumurile spre fiecare compartiment. Pentru 12 rânduri, el merge 1, 12, 66, 220, 495, 792, 924 și apoi coboară înapoi.

Distribuția binomială

Împarte drumurile spre un compartiment la toate cele 2ⁿ drumuri și obții șansa de a ajunge acolo. Aceasta este distribuția binomială. Pe o tablă echilibrată, media este n/2, iar abaterea standard este √n/2. Cu o înclinare p, media devine n·p, iar împrăștierea √(n·p·(1−p)).

De la compartimente la curba clopot

Pe măsură ce crește numărul de rânduri, barele distribuției binomiale desenează curba normală netedă, curba clopot. Abraham de Moivre a arătat asta în 1733. Este un prim caz al teoremei limită centrale: adună mulți pași aleatori mici și independenți, iar totalul urmează o curbă clopot.

De ce compartimentele nu sunt niciodată exacte

Fiecare bilă este aleatorie, așa că compartimentele variază în jurul înălțimilor așteptate. Un compartiment care ar trebui să aibă circa N bile se abate de obicei cu circa √N. Lasă să cadă 100 de bile și forma e neregulată. Lasă să cadă 5000 și ea se lipește de curbă.

Galton și regresia spre medie

Galton a folosit tabla în studiile sale despre ereditate. A observat că părinții foarte înalți tind să aibă copii înalți, dar mai aproape de medie. A numit acest fenomen regresie spre medie, o idee folosită azi în toată statistica.

Încearc-o în PictorX

Deschide Tabla lui Galton și bilele încep imediat să cadă. Rânduri stabilește numărul de ricoșeuri, Bile numărul de bile care cad, iar Înclinare șansa de a merge la dreapta. Curba clopot arată înălțimile așteptate, iar numerele de sub compartimente numără bilele. Activează opțiunea Triunghiul lui Pascal ca să vezi drumurile, apoi salvează un PNG.

Întrebări frecvente

Cine a inventat tabla lui Galton?

Francis Galton a construit-o în anii 1870 și a descris-o în 1889 în cartea sa Natural Inheritance.

Care este diferența dintre distribuția binomială și cea normală?

Distribuția binomială numără succesele dintr-un număr fix de încercări de tip da sau nu, cum sunt ricoșeurile la dreapta pe o tablă. Distribuția normală este curba clopot netedă de care se apropie atunci când numărul de încercări este mare.

De ce se numește quincunx?

Un quincunx este modelul celor cinci puncte de pe un zar: patru în colțuri și unul la mijloc. Rândurile decalate de cuie repetă acest model.

O tablă Galton reală produce o curbă clopot perfectă?

Nu chiar. Bilele reale se lovesc între ele și pot sări mai mult de un pas o dată, ceea ce lărgește puțin clopotul. Ricoșeurile din această simulare sunt independente, ca pe o tablă ideală.