La planche de Galton | Hasard, triangle de Pascal et courbe en cloche

La machine de Francis Galton

Francis Galton, savant victorien passionné d’hérédité et de statistique, a construit la première planche dans les années 1870. Il l’a décrite dans son livre Natural Inheritance en 1889. Il l’a appelée quinconce, d’après la disposition des cinq points sur un dé, que répètent les clous décalés.

Un rebond à la fois

À chaque clou, une bille va à gauche ou à droite avec la même probabilité, comme à pile ou face. Après n rangées, elle a fait n choix de ce genre. Sa case est le nombre de fois où elle est allée à droite. L’ordre ne compte pas : droite puis gauche mène au même endroit que gauche puis droite.

Le triangle de Pascal compte les chemins

Écrivez 1 sur le clou du haut. Sur chaque autre clou, additionnez les deux nombres au-dessus. C’est le triangle de Pascal, et chaque nombre compte les chemins qui mènent à ce clou. La dernière rangée donne les chemins vers chaque case. Pour 12 rangées, elle donne 1, 12, 66, 220, 495, 792, 924, puis redescend.

La loi binomiale

Divisez le nombre de chemins vers une case par le total de 2ⁿ chemins, et vous obtenez la probabilité d’y tomber. C’est la loi binomiale. Sur une planche équilibrée, la moyenne vaut n/2 et l’écart type √n/2. Avec un biais p, la moyenne devient n·p et la dispersion √(n·p·(1−p)).

Des cases à la courbe en cloche

Quand le nombre de rangées augmente, les barres de la loi binomiale dessinent la courbe lisse de la loi normale, la courbe en cloche. Abraham de Moivre l’a montré en 1733. C’est un premier cas du théorème central limite : additionnez beaucoup de petits pas aléatoires indépendants, et le total suit une courbe en cloche.

Pourquoi les cases ne sont jamais exactes

Chaque bille est aléatoire, donc les cases s’éparpillent autour de leurs hauteurs attendues. Une case qui devrait contenir environ N billes s’en écarte en général d’environ √N. Lâchez 100 billes et la forme reste grossière. Lâchez-en 5000 et elle épouse la courbe.

Galton et la régression vers la moyenne

Galton a utilisé la planche dans ses travaux sur l’hérédité. Il a remarqué que des parents très grands ont tendance à avoir des enfants grands, mais plus proches de la moyenne. Il a appelé cela la régression vers la moyenne, une idée aujourd’hui utilisée dans toute la statistique.

L’essayer dans PictorX

Ouvrez la planche de Galton et les billes commencent aussitôt à tomber. Rangées fixe le nombre de rebonds, Billes le nombre de billes qui tombent, et Biais la probabilité d’aller à droite. La courbe en cloche montre les hauteurs attendues, et les nombres sous les cases comptent les billes. Activez Triangle de Pascal pour voir les chemins, puis enregistrez un PNG.

Questions fréquemment posées

Qui a inventé la planche de Galton ?

Francis Galton l’a construite dans les années 1870 et l’a décrite en 1889 dans son livre Natural Inheritance.

Quelle est la différence entre la loi binomiale et la loi normale ?

La loi binomiale compte les succès dans un nombre fixe d’essais à deux issues, oui ou non, comme les rebonds à droite sur une planche. La loi normale est la courbe en cloche lisse dont elle se rapproche quand le nombre d’essais est grand.

Pourquoi l’appelle-t-on quinconce ?

Un quinconce est la disposition des cinq points sur un dé : quatre aux coins et un au milieu. Les rangées décalées de clous répètent cette disposition.

Une vraie planche de Galton donne-t-elle une courbe en cloche parfaite ?

Pas tout à fait. De vraies billes se heurtent et peuvent rebondir de plus d’un cran à la fois, ce qui élargit un peu la cloche. Dans cette simulation, les rebonds sont indépendants, comme sur une planche idéale.