La macchina di Galton | Caso, triangolo di Tartaglia e curva a campana

La macchina di Francis Galton

Francis Galton, scienziato vittoriano appassionato di ereditarietà e statistica, costruì la prima tavola negli anni 1870. La descrisse nel suo libro Natural Inheritance nel 1889. La chiamò quinconce, dalla disposizione dei cinque punti su un dado, che i chiodi sfalsati ripetono.

Un rimbalzo alla volta

A ogni chiodo una sfera va a sinistra o a destra con la stessa probabilità, come nel lancio di una moneta. Dopo n righe ha fatto n scelte di questo tipo. Il suo scomparto è il numero di volte in cui è andata a destra. L’ordine non conta: destra e poi sinistra porta nello stesso punto di sinistra e poi destra.

Il triangolo di Tartaglia conta i percorsi

Scrivi 1 sul chiodo più in alto. Su ogni altro chiodo, somma i due numeri sopra di esso. Questo è il triangolo di Tartaglia, e ogni numero conta i percorsi che arrivano a quel chiodo. L’ultima riga dà i percorsi verso ogni scomparto. Con 12 righe fa 1, 12, 66, 220, 495, 792, 924 e poi ridiscende.

La distribuzione binomiale

Dividi i percorsi verso uno scomparto per tutti i 2ⁿ percorsi, e ottieni la probabilità di finire lì. Questa è la distribuzione binomiale. Su una tavola equa la media è n/2 e la deviazione standard √n/2. Con uno sbilanciamento p la media diventa n·p e la dispersione √(n·p·(1−p)).

Dagli scomparti alla curva a campana

Con l’aumentare delle righe, le barre della distribuzione binomiale disegnano la curva liscia della distribuzione normale, la curva a campana. Abraham de Moivre lo dimostrò nel 1733. È un primo caso del teorema del limite centrale: somma molti piccoli passi casuali e indipendenti, e il totale segue una curva a campana.

Perché gli scomparti non sono mai esatti

Ogni sfera è casuale, quindi gli scomparti si disperdono intorno alle loro altezze attese. Uno scomparto che dovrebbe contenere circa N sfere di solito si scosta di circa √N. Fai cadere 100 sfere e la forma è approssimativa. Fanne cadere 5000 e aderisce alla curva.

Galton e la regressione verso la media

Galton usò la tavola nei suoi studi sull’ereditarietà. Notò che genitori molto alti tendono ad avere figli alti, ma più vicini alla media. Chiamò questo fenomeno regressione verso la media, un’idea oggi usata in tutta la statistica.

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Apri la macchina di Galton e le sfere cominciano subito a cadere. Righe imposta il numero di rimbalzi, Sfere quante ne cadono e Sbilanciamento la probabilità di andare a destra. La curva a campana mostra le altezze attese, e i numeri sotto gli scomparti contano le sfere. Attiva Triangolo di Tartaglia per vedere i percorsi, poi salva un PNG.

Domande frequenti

Chi ha inventato la macchina di Galton?

Francis Galton la costruì negli anni 1870 e la descrisse nel 1889 nel suo libro Natural Inheritance.

Qual è la differenza tra distribuzione binomiale e distribuzione normale?

La distribuzione binomiale conta i successi in un numero fisso di prove sì o no, come i rimbalzi a destra su una tavola. La distribuzione normale è la curva a campana liscia a cui si avvicina quando il numero di prove è grande.

Perché si chiama quinconce?

Un quinconce è la disposizione dei cinque punti su un dado: quattro agli angoli e uno al centro. Le righe sfalsate di chiodi ripetono quella disposizione.

Una vera macchina di Galton dà una curva a campana perfetta?

Non proprio. Le sfere vere si urtano tra loro e possono rimbalzare di più di un passo alla volta, il che allarga un po’ la campana. In questa simulazione i rimbalzi sono indipendenti, come su una tavola ideale.