عن لوح غالتون | الصدفة ومثلث باسكال ومنحنى الجرس

آلة فرانسيس غالتون

بنى فرانسيس غالتون، وهو عالم من العصر الفيكتوري شغوف بالوراثة والإحصاء، أول لوح في عقد 1870. ووصفه في كتابه الوراثة الطبيعية (Natural Inheritance) عام 1889. وسمّاه الكوينكنكس (quincunx)، نسبةً إلى نمط النقاط الخمس على حجر النرد، الذي تكرره الأوتاد المصفوفة بالتناوب.

ارتداد تلو الآخر

عند كل وتد تذهب الكرة يسارًا أو يمينًا بفرصة متساوية، مثل رمي عملة. بعد n من الصفوف تكون قد اتخذت n من هذه الخيارات. خانتها هي عدد المرات التي ذهبت فيها يمينًا. الترتيب لا يهم: يمينًا ثم يسارًا ينتهي في المكان نفسه الذي ينتهي فيه يسارًا ثم يمينًا.

مثلث باسكال يعدّ المسارات

اكتب 1 عند الوتد العلوي. وعند كل وتد آخر، اجمع العددين اللذين فوقه. هذا هو مثلث باسكال، وكل عدد فيه يعدّ المسارات التي تصل إلى ذلك الوتد. ويعطي الصف الأخير عدد المسارات إلى كل خانة. مع 12 صفًا تتوالى الأعداد 1، 12، 66، 220، 495، 792، 924 ثم تعود تنازليًا.

توزيع ذي الحدين

اقسم عدد المسارات إلى خانة ما على جميع المسارات وعددها 2ⁿ، فتحصل على احتمال الوصول إليها. هذا هو توزيع ذي الحدين. على لوح عادل يكون المتوسط n/2 والانحراف المعياري √n/2. ومع انحياز p يصبح المتوسط n·p والتشتت √(n·p·(1−p)).

من الخانات إلى منحنى الجرس

كلما زادت الصفوف، رسمت أعمدة توزيع ذي الحدين منحنى التوزيع الطبيعي الأملس، أي منحنى الجرس. بيّن أبراهام دي موافر ذلك عام 1733. وهذه أول حالة من مبرهنة النهاية المركزية: اجمع خطوات عشوائية صغيرة ومستقلة كثيرة، فيتبع المجموع منحنى جرس.

لماذا لا تكون الخانات دقيقة أبدًا

كل كرة عشوائية، لذا تتبعثر الخانات حول ارتفاعاتها المتوقعة. والخانة التي ينبغي أن تحوي نحو N كرة تحيد عادةً بنحو √N. أسقط 100 كرة فيكون الشكل خشنًا. أسقط 5000 فيلتصق بالمنحنى.

غالتون والانحدار نحو المتوسط

استخدم غالتون اللوح في أبحاثه عن الوراثة. ولاحظ أن الآباء الطوال جدًا يميلون إلى إنجاب أبناء طوال، لكن أقرب إلى المتوسط. وسمّى ذلك الانحدار نحو المتوسط، وهي فكرة تُستخدم اليوم في الإحصاء كله.

جرّبه في PictorX

افتح لوح غالتون فتبدأ الكرات بالسقوط فورًا. الصفوف تحدد عدد الارتدادات، والكرات عدد ما يسقط منها، والانحياز احتمال الذهاب يمينًا. منحنى الجرس يُظهر الارتفاعات المتوقعة، والأعداد تحت الخانات تعدّ الكرات. شغّل مثلث باسكال لترى المسارات، ثم احفظ PNG.

الأسئلة المتداولة

من اخترع لوح غالتون؟

بناه فرانسيس غالتون في عقد 1870 ووصفه عام 1889 في كتابه الوراثة الطبيعية (Natural Inheritance).

ما الفرق بين توزيع ذي الحدين والتوزيع الطبيعي؟

يعدّ توزيع ذي الحدين النجاحات في عدد ثابت من المحاولات التي نتيجتها نعم أو لا، مثل الارتدادات إلى اليمين على اللوح. أما التوزيع الطبيعي فهو منحنى الجرس الأملس الذي يقترب منه حين يكون عدد المحاولات كبيرًا.

لماذا يُسمّى الكوينكنكس؟

الكوينكنكس هو نمط النقاط الخمس على حجر النرد: أربع في الزوايا وواحدة في الوسط. وصفوف الأوتاد المصفوفة بالتناوب تكرر هذا النمط.

هل يعطي لوح غالتون الحقيقي منحنى جرس مثاليًا؟

ليس تمامًا. الكرات الحقيقية يصطدم بعضها ببعض، وقد ترتد أكثر من خطوة واحدة في المرة، مما يوسّع الجرس قليلًا. أما الارتدادات في هذه المحاكاة فمستقلة، كما على لوح مثالي.