Over het Galtonbord | Toeval, driehoek van Pascal en klokkromme

De machine van Francis Galton

Francis Galton, een Victoriaanse wetenschapper met een passie voor erfelijkheid en statistiek, bouwde het eerste bord in de jaren 1870. Hij beschreef het in 1889 in zijn boek Natural Inheritance. Hij noemde het een quincunx, naar het patroon van vijf stippen op een dobbelsteen, dat de verspringende pinnen herhalen.

Eén sprong tegelijk

Bij elke pin gaat een bal met gelijke kans naar links of rechts, zoals bij kop of munt. Na n rijen heeft hij n van zulke keuzes gemaakt. Zijn vakje is het aantal keer dat hij naar rechts ging. De volgorde doet er niet toe: rechts en dan links eindigt op dezelfde plek als links en dan rechts.

De driehoek van Pascal telt de paden

Schrijf 1 bij de bovenste pin. Tel bij elke andere pin de twee getallen erboven op. Dat is de driehoek van Pascal, en elk getal telt de paden die bij die pin uitkomen. De laatste rij geeft de paden naar elk vakje. Bij 12 rijen is dat 1, 12, 66, 220, 495, 792, 924 en weer terug omlaag.

De binomiale verdeling

Deel het aantal paden naar een vakje door alle 2ⁿ paden, en je hebt de kans om daar te landen. Dat is de binomiale verdeling. Op een eerlijk bord is het gemiddelde n/2 en de standaardafwijking √n/2. Met een neiging p wordt het gemiddelde n·p en de spreiding √(n·p·(1−p)).

Van vakjes naar een klokkromme

Naarmate er meer rijen komen, volgen de staven van de binomiale verdeling de vloeiende kromme van de normale verdeling, de klokkromme. Abraham de Moivre liet dat in 1733 zien. Het is een eerste geval van de centrale limietstelling: tel veel kleine, onafhankelijke toevallige stappen op, en het totaal volgt een klokkromme.

Waarom de vakjes nooit precies kloppen

Elke bal is willekeurig, dus de vakjes schommelen rond hun verwachte hoogte. Een vakje dat ongeveer N ballen zou moeten bevatten, zit er meestal zo’n √N naast. Laat 100 ballen vallen en de vorm is ruw. Laat er 5000 vallen en hij sluit nauw aan op de kromme.

Galton en regressie naar het gemiddelde

Galton gebruikte het bord bij zijn werk over erfelijkheid. Hij merkte dat heel lange ouders vaak kinderen krijgen die lang zijn, maar dichter bij het gemiddelde. Hij noemde dat regressie naar het gemiddelde, een idee dat nu in de hele statistiek wordt gebruikt.

Probeer het in PictorX

Open het Galtonbord en de ballen beginnen meteen te vallen. Rijen bepaalt het aantal sprongen, Ballen hoeveel er vallen, en Neiging de kans om naar rechts te gaan. De klokkromme toont de verwachte hoogtes, en de getallen onder de vakjes tellen de ballen. Zet Driehoek van Pascal aan om de paden te zien, en sla daarna een PNG op.

Veelgestelde vragen

Wie heeft het Galtonbord uitgevonden?

Francis Galton bouwde het in de jaren 1870 en beschreef het in 1889 in zijn boek Natural Inheritance.

Wat is het verschil tussen de binomiale en de normale verdeling?

De binomiale verdeling telt de successen in een vast aantal proeven met de uitkomst ja of nee, zoals de sprongen naar rechts op een bord. De normale verdeling is de vloeiende klokkromme die ze benadert als het aantal proeven groot is.

Waarom heet het een quincunx?

Een quincunx is het patroon van vijf stippen op een dobbelsteen: vier in de hoeken en één in het midden. De verspringende rijen pinnen herhalen dat patroon.

Geeft een echt Galtonbord een perfecte klokkromme?

Niet helemaal. Echte ballen botsen tegen elkaar en kunnen meer dan één stap tegelijk springen, waardoor de klok iets breder wordt. De sprongen in deze simulatie zijn onafhankelijk, zoals op een ideaal bord.