Über Buffons Nadel | Geometrische Wahrscheinlichkeit und π

Ein Boden mit parallelen Linien

1777 stellte Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, eine Frage, die wie ein Partytrick klingt. Eine Nadel der Länge l fällt auf einen Boden mit parallelen Linien im Abstand d. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass die Nadel über einer Linie liegt? Nur zwei Dinge am Fall sind zufällig. Die Mitte der Nadel landet mit gleicher Wahrscheinlichkeit irgendwo zwischen den Linien, und die Nadel zeigt mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jede Richtung. Verschiebt man das Bild entlang der Linien, ändert sich nichts daran, ob sie kreuzt, daher kann die Lage entlang einer Linie außer Acht bleiben.

Die kurze Nadel

Die klassische Antwort gilt für eine kurze Nadel, die nicht länger ist als der Abstand: l ≤ d. Eine solche Nadel kann höchstens eine Linie treffen, und die Wahrscheinlichkeit dafür ist P = 2l / (πd) Praktisch ist eine Nadel halb so lang wie der Abstand, l = d/2. Dann ist P = 1/π, etwa 0,318. Etwas weniger als jeder dritte Wurf ist eine Kreuzung.

Woher π kommt

Sei x der Abstand von der Mitte der Nadel zur nächsten Linie. Dann reicht x von 0 bis d/2. Sei θ der Winkel zwischen Nadel und Linien. Eine Nadel hat weder Kopf noch Ende, also reicht θ von 0 bis π, und diese halbe Drehung umfasst bereits jede Richtung. Die Nadel erreicht die Linie, wenn x nicht größer ist als die Projektion der halben Nadel: x ≤ (l/2) sin θ Jedes Paar (θ, x) ist ein Punkt in einem Rechteck der Breite π und der Höhe d/2. Die Kreuzungen bilden den Bereich unter der Sinuskurve. Bei einer kurzen Nadel bleibt diese Kurve innerhalb des Rechtecks. Ihre Fläche ist das Integral von 0 bis π über (l/2) sin θ dθ, also l. Teilt man durch die Fläche des Rechtecks, π·d/2, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit 2l/(πd). Das π in der Formel ist die Breite der Winkelachse.

π schätzen

Stellt man die Formel um, schätzen dieselben Würfe π: π ≈ 2l · N / (d · N_hit) N ist die Zahl der Würfe und N_hit die Zahl derer, die eine Linie kreuzen. Mit l = d/2 ist das einfach π ≈ N / N_hit Das ist eine Monte-Carlo-Schätzung: zufällige Lagen und Winkel ziehen, Treffer zählen, teilen. Der Boden zeigt die Nadeln. Das Rechteck daneben zeigt dieselben Würfe als Punkte, unter der Sinuskurve, wenn sie kreuzen, und darüber, wenn sie verfehlen.

Ein Experiment für Geduldige

Die Schätzung ist erwartungstreu, aber langsam. Jeder Wurf ist ein Ja oder Nein mit einer Wahrscheinlichkeit nahe 1/π, daher schwankt das Verhältnis lange. Nach einigen tausend Würfen sind die ersten Ziffern meist als π erkennbar. Die nächste Ziffer verlangt eine viel größere Zahl. Das ± neben der Anzeige ist ein Standardfehler dieses Verhältnisses, ein Maß dafür, wie weit ein Durchgang dieser Länge typischerweise noch vom wahren Wert entfernt liegt. Buffons Nadel ist eine direkte Verbindung zwischen einem linierten Boden und einem Kreis. Als Maschine zur Berechnung von Ziffern von π taugt sie wenig.

In PictorX erkunden

Öffnen Sie Buffons Nadel, und das Experiment mit der halben Nadel läuft bereits: l/d = 0,50, die Anzeige ist also Würfe geteilt durch Kreuzungen. „Boden und Diagramm“ zeigt die Dielen und das Sinusrechteck zusammen. Ziehen Sie auf dem Boden, um eine Nadel von Hand zu legen und ihr x und ihren Winkel abzulesen. Diese Nadel wird gezeichnet, aber nicht mitgezählt, sodass die Schätzung eine Zufallsstichprobe bleibt. „Voller Abstand“ setzt l = d, dann gilt π ≈ 2N / N_hit. „Kurze Nadel“ setzt l = d/4. „1.000 Würfe“ lässt einen Stapel fallen und pausiert, damit Sie die Schätzung ablesen können. Der Favorit „Sinusdiagramm“ blendet den Boden aus und füllt das Rechteck. Speichern Sie ein PNG oder öffnen Sie die Leinwand im PictorX-Editor. Kombinieren Sie es mit der Ulam-Spirale oder der Collatz-Vermutung für mehr Mathematik zum Zuschauen.

Häufig gestellte Fragen

Wer stellte das Nadelproblem von Buffon?

Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, im Jahr 1777. Es ist eines der ersten Probleme der geometrischen Wahrscheinlichkeit.

Wann kreuzt die Nadel eine Linie?

Wenn der Abstand x von ihrer Mitte zur nächsten Linie höchstens (l/2) sin θ beträgt. Dabei ist θ der Winkel zwischen Nadel und Linien, von 0 bis π.

Warum steckt π in der Antwort?

Die Richtung der Nadel ist ein Winkel. Alle möglichen Würfe füllen ein Rechteck, das π breit und d/2 hoch ist, und die Kreuzungen sind die Fläche unter einer Sinuskurve. Teilt man diese beiden Flächen, bleibt π im Nenner: P = 2l/(πd) für eine kurze Nadel.

Wie viele Würfe braucht eine stabile Schätzung?

Ist die Nadel halb so lang wie der Abstand, ist π ungefähr Würfe geteilt durch Kreuzungen. Nach einigen tausend Würfen stehen die ersten Ziffern meist fest. Eine weitere Ziffer erfordert eine viel größere Zahl. Das ± in der Anzeige ist ein Standardfehler der Schätzung.

Was ist, wenn die Nadel länger als der Abstand ist?

Eine längere Nadel kann mehr als eine Linie kreuzen, und P = 2l/(πd) gilt nicht mehr. Diese App hält l ≤ d, daher bleibt die Schätzung π ≈ 2l·N / (d·N_hit).