Über die Brachistochrone | Die Kurve der kürzesten Fallzeit

Die Frage

Nehmen Sie zwei Punkte: A und einen tieferen Punkt B, der nicht senkrecht darunter liegt. Welche Bahn zwischen ihnen bringt eine Kugel in der kürzesten Zeit von A nach B? Die Kugel startet aus der Ruhe, die Schwerkraft zieht sie, und sonst wirkt nichts auf sie: keine Reibung, keine Luft.

Warum nicht die Gerade

Die Gerade ist der kürzeste Weg, aber auf ihr wird die Kugel nur langsam schneller. Eine Bahn, die zuerst steil abfällt, macht die Kugel früh schnell, und sie behält diese Geschwindigkeit für den Rest des Weges. Ein längerer Weg mit höherer Geschwindigkeit kann weniger Zeit brauchen. Die beste Bahn ist ein Ausgleich zwischen Länge und Geschwindigkeit.

Galileis Vermutung

1638 zeigte Galilei, dass eine Kugel auf einem Kreisbogen schneller nach unten kommt als auf der geraden Sehne. Er vermutete, der Kreis sei die schnellste Bahn überhaupt. Er ist schnell, aber nicht der schnellste. Der Kreis ist im Rennen, damit Sie sehen, wie er nahe herankommt und verliert.

Bernoullis Herausforderung

1696 forderte Johann Bernoulli die Mathematiker Europas auf, die Kurve zu finden. Sein Bruder Jakob, Leibniz, l'Hôpital und Newton schickten Lösungen. Newtons Lösung kam ohne seinen Namen an, und Bernoulli soll ihn erkannt haben wie den Löwen an seiner Klaue. Das Problem half, die Variationsrechnung zu begründen, die Mathematik der Suche nach der besten Kurve.

Die Zykloide

Rollen Sie ein Rad eine Gerade entlang und beobachten Sie einen Punkt auf seinem Rand. Er beschreibt eine Reihe von Bögen: eine Zykloide. Stellen Sie einen Bogen auf den Kopf und lassen Sie ihn in A beginnen, dann ist er die Brachistochrone. Johann Bernoulli fand sie, indem er die fallende Kugel wie einen Lichtstrahl behandelte, der immer den Weg der kürzesten Zeit nimmt.

Wenn die Zykloide unter das Ziel taucht

Liegt B weit seitlich und nicht sehr tief, führt die schnellste Bahn unter B hinab und steigt wieder zu B hinauf. Der tiefere Weg bringt Geschwindigkeit, die den Anstieg mehr als aufwiegt. Probieren Sie den Favoriten Flaches Ziel: Die Kugel auf der Zykloide fällt weit unter die Linie zu B und kommt trotzdem zuerst an.

Die Tautochrone

Die Zykloide hat eine zweite Gabe. In einer Schale in Form einer Zykloide erreicht eine Kugel, aus beliebiger Höhe losgelassen, den tiefsten Punkt in derselben Zeit: π√(a/g), wobei a der Radius des rollenden Rades ist. Christiaan Huygens fand das 1659 heraus und entwarf damit Pendeluhren, die genau gehen, wie weit sie auch schwingen. In einer runden Schale kommen die Kugeln von weiter oben später an.

In PictorX ausprobieren

Öffnen Sie das Brachistochronen-Rennen, und fünf Kugeln verlassen A gemeinsam. Die Punkte zeigen für jede Zehntelsekunde, wo jede Kugel war. Ziehen Sie B, um das Ziel zu verschieben, oder zeichnen Sie Ihre eigene Bahn auf das Bild. Stellen Sie Modus auf Zykloidenschale oder Kreisschale, um die beiden Schalen zu vergleichen. Die Kugeln gleiten ohne Reibung. Echte rollende Kugeln sind alle um denselben Faktor langsamer, also ändert sich die Reihenfolge nicht.

Häufig gestellte Fragen

Was bedeutet Brachistochrone?

Das Wort ist griechisch: brachistos bedeutet kürzeste und chronos bedeutet Zeit. Die Brachistochrone ist die Kurve der kürzesten Fallzeit.

Ist die Brachistochrone der kürzeste Weg?

Nein. Der kürzeste Weg ist die Gerade. Die Brachistochrone ist länger, aber die Kugel bewegt sich auf ihr schneller und kommt deshalb früher an.

Was ist der Unterschied zwischen Brachistochrone und Tautochrone?

Beide sind Zykloiden. Die Brachistochrone ist die schnellste Bahn zwischen zwei Punkten. Die Tautochrone ist die Schale, in der eine Kugel aus jeder Starthöhe in derselben Zeit den tiefsten Punkt erreicht.

Ändert Reibung die Antwort?

Ja, ein wenig. Mit Reibung ist die schnellste Bahn keine exakte Zykloide mehr, sieht ihr aber sehr ähnlich. Dieses Rennen lässt die Reibung weg, wie das klassische Problem.