عن منحنى أقصر زمن | منحنى أسرع هبوط

السؤال

خذ نقطتين: A، ونقطة أخفض B ليست تحتها مباشرة. أي مسار بينهما يوصل الكرة من A إلى B في أقصر زمن؟ تبدأ الكرة من السكون، وتشدّها الجاذبية، ولا يؤثر فيها شيء آخر: لا احتكاك ولا هواء.

لماذا ليس الخط المستقيم

الخط المستقيم هو أقصر طريق، لكن الكرة تجمع عليه السرعة ببطء. المسار الذي يهبط بحدة أولًا يجعل الكرة سريعة مبكرًا، فتحتفظ بتلك السرعة بقية الطريق. وقد يستغرق طريق أطول بسرعة أعلى وقتًا أقل. أفضل مسار هو توازن بين الطول والسرعة.

تخمين غاليليو

في عام 1638 بيّن غاليليو أن الكرة تنزل على قوس من دائرة أسرع منها على الوتر المستقيم. وظن أن الدائرة هي أسرع مسار على الإطلاق. إنها سريعة، لكنها ليست الأسرع. الدائرة حاضرة في السباق لتراها تقترب ثم تخسر.

تحدي برنولي

في عام 1696 تحدّى يوهان برنولي رياضيي أوروبا أن يجدوا المنحنى. فأرسل أخوه ياكوب ولايبنتس ولوبيتال ونيوتن حلولًا. وصل حل نيوتن دون اسمه، ويُقال إن برنولي عرفه كما يُعرف الأسد من مخلبه. ساعدت المسألة على نشأة حساب التغيرات، وهو رياضيات إيجاد أفضل منحنى.

المنحنى الدويري

دحرج عجلة على طول خط مستقيم وراقب نقطة واحدة على حافتها. إنها ترسم صفًا من الأقواس: منحنى دويري. اقلب قوسًا واحدًا رأسًا على عقب وابدأ به من A، فيكون منحنى أقصر زمن. وجده يوهان برنولي بمعاملة الكرة الساقطة كشعاع ضوء، يسلك دائمًا المسار ذا أقصر زمن.

حين ينخفض المنحنى الدويري تحت نقطة النهاية

إذا كانت B بعيدة إلى الجانب وليست عميقة كثيرًا، فإن أسرع مسار ينزل تحت B ثم يصعد إليها. النزول أعمق يمنح سرعة تعوّض الصعود وتزيد. جرّب المفضلة «نهاية ضحلة»: تهبط كرة المنحنى الدويري بعيدًا تحت الخط الواصل إلى B وتصل أولًا رغم ذلك.

منحنى تساوي الزمن

للمنحنى الدويري هبة ثانية. في وعاء على شكل منحنى دويري، تصل الكرة المتروكة من أي ارتفاع إلى القاع في الزمن نفسه: π√(a/g)، حيث a هو نصف قطر العجلة المتدحرجة. اكتشف كريستيان هيغنز ذلك عام 1659 واستخدمه لتصميم ساعات بندولية تحافظ على دقة الوقت مهما اتسعت أرجحتها. وفي الوعاء الدائري تصل الكرات الآتية من أعلى متأخرة.

جرّبه في PictorX

افتح سباق منحنى أقصر زمن فتنطلق خمس كرات من A معًا. تُظهر النقاط موضع كل كرة كل عُشر ثانية. اسحب B لتحريك نقطة النهاية، أو ارسم مسارك الخاص على الصورة. اضبط الوضع على «وعاء دويري» أو «وعاء دائري» لتقارن بين الوعاءين. تنزلق الكرات بلا احتكاك. والكرات الحقيقية المتدحرجة أبطأ كلها بالمعامل نفسه، فلا يتغير الترتيب.

الأسئلة المتداولة

ماذا يعني البراكيستوكرون؟

الكلمة إغريقية: براخيستوس (brachistos) تعني الأقصر، وخرونوس (chronos) تعني الزمن. منحنى أقصر زمن هو منحنى أسرع هبوط.

هل منحنى أقصر زمن هو أقصر طريق؟

لا. أقصر طريق هو الخط المستقيم. منحنى أقصر زمن أطول، لكن الكرة تتحرك عليه أسرع، فتصل أبكر.

ما الفرق بين منحنى أقصر زمن ومنحنى تساوي الزمن؟

كلاهما منحنى دويري. منحنى أقصر زمن هو أسرع مسار بين نقطتين. ومنحنى تساوي الزمن هو الوعاء الذي تصل فيه الكرة إلى القاع في الزمن نفسه من أي ارتفاع تبدأ منه.

هل يغيّر الاحتكاك الجواب؟

نعم، قليلًا. مع الاحتكاك لا يعود أسرع مسار منحنى دويريًا تمامًا، وإن كان يشبهه كثيرًا. يتجاهل هذا السباق الاحتكاك، كما تفعل المسألة الكلاسيكية.