最速降下曲線について | 最も速く下る曲線

問題

2つの点をとります。A と、その真下ではない、より低い点 B です。2点を結ぶどのコースなら、球を A から B へ最短時間で運べるでしょうか？球は静止から出発し、重力に引かれ、ほかには何も働きません。摩擦も空気もありません。

なぜ直線ではないのか

直線は最短の道ですが、その上では球はゆっくりとしか速くなりません。最初に急に落ちるコースは早くから球を速くし、球はその速さを残りの道のりでも保ちます。長い道でも速く進めば、かかる時間は短くなりえます。最良のコースは、長さと速さのバランスです。

ガリレオの推測

1638年、ガリレオは、球はまっすぐな弦に沿うより円弧に沿うほうが速く下りることを示しました。彼は、円こそが最も速いコースではないかと考えました。円は速いのですが、最速ではありません。円がレースに入っているのは、迫りながらも負ける様子を見てもらうためです。

ベルヌーイの挑戦

1696年、ヨハン・ベルヌーイはヨーロッパの数学者たちに、この曲線を見つけるよう挑戦しました。兄のヤコブ、ライプニッツ、ロピタル、ニュートンが解答を送りました。ニュートンの解答は名前なしで届きましたが、ベルヌーイは爪を見て獅子を知るように、それがニュートンだと見抜いたと言われています。この問題は、最良の曲線を見つける数学である変分法が生まれるきっかけになりました。

サイクロイド

車輪を直線に沿って転がし、ふちの1点を見てください。その点はアーチの列を描きます。これがサイクロイドです。アーチを1つ上下逆さにして A から始めると、最速降下曲線になります。ヨハン・ベルヌーイは、落ちる球を光線のように扱ってこれを見つけました。光はいつも、時間が最短になる道を通るからです。

サイクロイドがゴールより下に沈むとき

B が横に遠く、あまり深くないとき、最も速いコースは B より下まで下りてから B へ上り返します。深く下りて得た速さが、上りの損を補って余りあるのです。お気に入りの「なだらかなゴール」を試してください。サイクロイドの球は B へ向かう直線よりずっと下まで落ち、それでも最初に着きます。

等時曲線

サイクロイドには、もう1つの贈り物があります。サイクロイドの形をしたボウルでは、どの高さから放した球も同じ時間で底に着きます。その時間は π√(a/g) で、a は転がる車輪の半径です。クリスティアーン・ホイヘンスは1659年にこれを見つけ、どれだけ大きく振れても正確に時を刻む振り子時計の設計に使いました。円形のボウルでは、高いところから放した球ほど遅れて着きます。

PictorX で試す

最速降下曲線レースを開くと、5個の球が A から一斉に出発します。点は、各球が10分の1秒ごとにどこにいたかを示します。B をドラッグしてゴールを動かすか、画像の上に自分のコースを描きます。モードをサイクロイド形ボウルか円形ボウルにして、2つのボウルを比べます。球は摩擦なしで滑ります。実際に転がる球はどれも同じ倍率で遅くなるので、順位は変わりません。

よくある質問

ブラキストクローネとはどういう意味ですか？

ギリシャ語で、brachistos は「最も短い」、chronos は「時間」という意味です。ブラキストクローネ（最速降下曲線）は、最も速く下る曲線です。

最速降下曲線は最短の道ですか？

いいえ。最短の道は直線です。最速降下曲線はそれより長いのですが、球がその上を速く進むので、先に着きます。

最速降下曲線と等時曲線の違いは何ですか？

どちらもサイクロイドです。最速降下曲線は、2点を結ぶ最も速いコースです。等時曲線は、どの高さから出発しても球が同じ時間で底に着くボウルです。

摩擦があると答えは変わりますか？

はい、少しだけ。摩擦があると、最速のコースはもう正確なサイクロイドではなくなりますが、見た目はよく似ています。このレースは、古典的な問題と同じく摩擦を考えません。

関連ツール

試してみますか？

ブラウザで PictorX を開きます。インストール不要、始めるのにクレジットカードも不要です。

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