Braquistócrona
Braquistócrona significa tiempo más corto en griego. Es la pista por la que una bola, partiendo del reposo y deslizándose sin fricción, va más rápido de un punto a otro más bajo. La respuesta no es la línea recta, sino una cicloide, la curva que traza un punto de una rueda al rodar.
La pregunta
Toma dos puntos: A y un punto B más bajo que no esté justo debajo de A. ¿Qué pista entre ellos lleva una bola de A a B en el menor tiempo? La bola parte del reposo, la gravedad tira de ella y nada más actúa sobre ella: ni fricción, ni aire.
Por qué no la línea recta
La línea recta es el camino más corto, pero en ella la bola gana velocidad despacio. Una pista que primero cae en fuerte pendiente hace que la bola vaya rápido pronto, y la bola conserva esa velocidad el resto del camino. Un camino más largo a mayor velocidad puede tardar menos. La mejor pista es un equilibrio entre longitud y velocidad.
La conjetura de Galileo
En 1638 Galileo mostró que una bola baja más rápido por un arco de circunferencia que por la cuerda recta. Sospechaba que el círculo era la pista más rápida de todas. Es rápido, pero no el más rápido. El círculo está en la carrera para que veas cómo se acerca y pierde.
El desafío de Bernoulli
En 1696 Johann Bernoulli desafió a los matemáticos de Europa a encontrar la curva. Su hermano Jakob, Leibniz, l'Hôpital y Newton enviaron soluciones. La de Newton llegó sin su nombre, y se dice que Bernoulli lo reconoció como al león por su garra. El problema ayudó a fundar el cálculo de variaciones, las matemáticas que buscan la mejor curva.
La cicloide
Haz rodar una rueda a lo largo de una línea recta y observa un punto de su borde. Traza una fila de arcos: una cicloide. Pon un arco boca abajo y haz que empiece en A: es la braquistócrona. Johann Bernoulli la encontró tratando la bola que cae como un rayo de luz, que siempre sigue el camino de menor tiempo.
Cuando la cicloide baja por debajo de la meta
Si B está muy a un lado y no muy abajo, la pista más rápida pasa por debajo de B y vuelve a subir hasta B. Bajar más hace ganar una velocidad que compensa con creces la subida. Prueba el favorito Meta llana: la bola de la cicloide cae muy por debajo de la línea hacia B y aun así llega primera.
La tautócrona
La cicloide tiene un segundo don. En un cuenco con forma de cicloide, una bola soltada desde cualquier altura llega al fondo en el mismo tiempo: π√(a/g), donde a es el radio de la rueda rodante. Christiaan Huygens lo descubrió en 1659 y lo usó para diseñar relojes de péndulo que marcan bien la hora por amplia que sea su oscilación. En un cuenco redondo, las bolas que salen más arriba llegan más tarde.
Pruébalo en PictorX
Abre la carrera de la braquistócrona y cinco bolas salen juntas de A. Los puntos muestran dónde estaba cada bola cada décima de segundo. Arrastra B para mover la meta, o dibuja tu propia pista sobre la imagen. Pon Modo en Cuenco cicloidal o Cuenco circular para comparar los dos cuencos. Las bolas se deslizan sin fricción. Las bolas reales que ruedan son todas más lentas por el mismo factor, así que el orden no cambia.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa braquistócrona?
Es griego: brachistos significa el más corto y chronos significa tiempo. La braquistócrona es la curva de descenso más rápido.
¿Es la braquistócrona el camino más corto?
No. El camino más corto es la línea recta. La braquistócrona es más larga, pero la bola se mueve más rápido por ella, así que llega antes.
¿Qué diferencia hay entre la braquistócrona y la tautócrona?
Las dos son cicloides. La braquistócrona es la pista más rápida entre dos puntos. La tautócrona es el cuenco en el que una bola llega al fondo en el mismo tiempo desde cualquier altura de salida.
¿La fricción cambia la respuesta?
Sí, un poco. Con fricción, la pista más rápida ya no es una cicloide exacta, aunque se le parece mucho. Esta carrera deja fuera la fricción, como el problema clásico.
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Dibuja hipotrocoides y epitrocoides en el navegador. Ajusta R, r y el desplazamiento del lápiz, anima, aleatoriza y guarda un PNG.
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