Om brachistokronen | Kurven for hurtigste fald

Spørgsmålet

Tag to punkter: A og et lavere punkt B, der ikke ligger lige under det. Hvilken bane mellem dem får en kugle fra A til B på kortest tid? Kuglen starter i hvile, tyngdekraften trækker i den, og intet andet virker på den: ingen friktion, ingen luft.

Hvorfor ikke den lige linje

Den lige linje er den korteste vej, men på den samler kuglen langsomt fart. En bane, der først falder stejlt, gør kuglen hurtig tidligt, og den beholder farten resten af vejen. En længere vej med højere fart kan tage kortere tid. Den bedste bane er en balance mellem længde og fart.

Galileis gæt

I 1638 viste Galilei, at en kugle kommer hurtigere ned ad en cirkelbue end ad den lige korde. Han formodede, at cirklen var den hurtigste bane af alle. Den er hurtig, men ikke den hurtigste. Cirklen er med i kapløbet, så du kan se den komme tæt på og tabe.

Bernoullis udfordring

I 1696 udfordrede Johann Bernoulli Europas matematikere til at finde kurven. Hans bror Jakob, Leibniz, l'Hôpital og Newton sendte løsninger. Newtons kom uden hans navn, og Bernoulli skal have genkendt ham som løven på dens klo. Problemet var med til at grundlægge variationsregningen, matematikken om at finde den bedste kurve.

Cykloiden

Rul et hjul langs en ret linje, og se på ét punkt på dets kant. Det tegner en række buer: en cykloide. Vend én bue på hovedet, og lad den starte i A, så er den brachistokronen. Johann Bernoulli fandt den ved at behandle den faldende kugle som en lysstråle, der altid følger vejen med kortest tid.

Når cykloiden dykker under målet

Hvis B ligger langt ude til siden og ikke ret dybt, går den hurtigste bane under B og klatrer op til det igen. At gå dybere giver fart, der mere end betaler for stigningen. Prøv favoritten Fladt mål: cykloidens kugle falder langt under linjen til B og kommer alligevel først.

Tautokronen

Cykloiden har endnu en gave. I en skål formet som en cykloide når en kugle, der slippes fra en hvilken som helst højde, bunden på samme tid: π√(a/g), hvor a er det rullende hjuls radius. Christiaan Huygens fandt det i 1659 og brugte det til at konstruere pendulure, der holder tiden, uanset hvor bredt de svinger. I en rund skål kommer kuglerne fra højere oppe senere frem.

Prøv det i PictorX

Åbn Brachistokron-kapløb, så forlader fem kugler A samtidig. Prikkerne viser, hvor hver kugle var for hver tiendedel af et sekund. Træk B for at flytte målet, eller tegn din egen bane på billedet. Sæt Tilstand til Cykloideskål eller Cirkelskål for at sammenligne de to skåle. Kuglerne glider uden friktion. Rigtige rullende kugler er alle langsommere med samme faktor, så rækkefølgen ændrer sig ikke.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad betyder brachistokron?

Det er græsk: brachistos betyder kortest, og chronos betyder tid. Brachistokronen er kurven for hurtigste fald.

Er brachistokronen den korteste vej?

Nej. Den korteste vej er den lige linje. Brachistokronen er længere, men kuglen bevæger sig hurtigere langs den, så den kommer tidligere frem.

Hvad er forskellen på brachistokronen og tautokronen?

Begge er cykloider. Brachistokronen er den hurtigste bane mellem to punkter. Tautokronen er den skål, hvor en kugle når bunden på samme tid fra en hvilken som helst starthøjde.

Ændrer friktion svaret?

Ja, lidt. Med friktion er den hurtigste bane ikke længere en præcis cykloide, selvom den ligner en meget. Dette kapløb udelader friktion, ligesom det klassiske problem gør.