ब्रैकिस्टोक्रोन के बारे में | सबसे तेज़ अवरोहण का वक्र

प्रश्न

दो बिंदु लें: A, और एक निचला बिंदु B जो उसके ठीक नीचे न हो। उनके बीच कौन-सा ट्रैक गेंद को A से B तक सबसे कम समय में पहुँचाता है? गेंद विराम से शुरू होती है, गुरुत्वाकर्षण उसे खींचता है, और उस पर और कुछ असर नहीं करता: न घर्षण, न हवा।

सीधी रेखा क्यों नहीं

सीधी रेखा सबसे छोटा रास्ता है, पर उस पर गेंद धीरे-धीरे गति पकड़ती है। जो ट्रैक पहले तेज़ी से नीचे गिरता है, वह गेंद को जल्दी तेज़ कर देता है, और गेंद बाकी पूरे रास्ते वह गति बनाए रखती है। ज़्यादा गति से तय किया गया लंबा रास्ता कम समय ले सकता है। सबसे अच्छा ट्रैक लंबाई और गति के बीच संतुलन है।

गैलीलियो का अनुमान

1638 में गैलीलियो ने दिखाया कि गेंद सीधी जीवा की तुलना में वृत्त के चाप पर तेज़ी से नीचे आती है। उनका अनुमान था कि वृत्त ही सबसे तेज़ ट्रैक है। वह तेज़ है, पर सबसे तेज़ नहीं। वृत्त दौड़ में इसीलिए है कि आप उसे करीब आकर हारते देख सकें।

बर्नूली की चुनौती

1696 में योहान बर्नूली ने यूरोप के गणितज्ञों को वह वक्र खोजने की चुनौती दी। उनके भाई याकोब, लाइबनिज़, लोपिताल और न्यूटन ने हल भेजे। न्यूटन का हल बिना नाम के पहुँचा, और कहा जाता है कि बर्नूली ने उन्हें वैसे ही पहचान लिया जैसे शेर को उसके पंजे से। इस समस्या ने विचरण कलन की नींव रखने में मदद की, यानी सबसे अच्छा वक्र खोजने का गणित।

चक्रज

किसी सीधी रेखा पर एक पहिया लुढ़काएँ और उसके किनारे के एक बिंदु को देखें। वह मेहराबों की एक पंक्ति बनाता है: चक्रज। एक मेहराब को उल्टा करें और उसे A से शुरू करें, तो वही ब्रैकिस्टोक्रोन है। योहान बर्नूली ने गिरती गेंद को प्रकाश की किरण की तरह मानकर इसे खोजा, जो हमेशा सबसे कम समय वाला रास्ता लेती है।

जब चक्रज फ़िनिश से नीचे चला जाता है

अगर B काफ़ी दूर बगल में हो और बहुत गहरा न हो, तो सबसे तेज़ ट्रैक B से नीचे जाकर फिर उस तक चढ़ता है। ज़्यादा गहराई में जाने से जो गति मिलती है, वह चढ़ाई की भरपाई से भी ज़्यादा होती है। पसंदीदा “उथला फ़िनिश” आज़माएँ: चक्रज वाली गेंद B तक की रेखा से काफ़ी नीचे गिरती है और फिर भी सबसे पहले पहुँचती है।

टॉटोक्रोन

चक्रज की एक दूसरी खूबी भी है। चक्रज के आकार के कटोरे में किसी भी ऊँचाई से छोड़ी गई गेंद एक ही समय में तली तक पहुँचती है: π√(a/g), जहाँ a लुढ़कते पहिये की त्रिज्या है। क्रिस्टियान हाइगेन्स ने यह 1659 में खोजा और इसका उपयोग ऐसी पेंडुलम घड़ियाँ बनाने में किया जो चाहे जितना चौड़ा झूलें, सही समय बताती हैं। गोल कटोरे में ज़्यादा ऊँचाई से छोड़ी गई गेंदें देर से पहुँचती हैं।

PictorX में आज़माएँ

ब्रैकिस्टोक्रोन दौड़ खोलें और पाँच गेंदें एक साथ A से निकलती हैं। बिंदु दिखाते हैं कि सेकंड के हर दसवें हिस्से पर हर गेंद कहाँ थी। फ़िनिश खिसकाने के लिए B को खींचें, या चित्र पर अपना ट्रैक खुद बनाएँ। दोनों कटोरों की तुलना के लिए मोड को “चक्रज कटोरा” या “वृत्ताकार कटोरा” पर सेट करें। गेंदें बिना घर्षण के फिसलती हैं। असली लुढ़कती गेंदें सब एक ही गुणक से धीमी होती हैं, इसलिए क्रम नहीं बदलता।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

ब्रैकिस्टोक्रोन का क्या अर्थ है?

यह यूनानी शब्द है: ब्राखिस्तोस (brachistos) का अर्थ है सबसे कम और क्रोनोस (chronos) का अर्थ है समय। ब्रैकिस्टोक्रोन सबसे तेज़ अवरोहण का वक्र है।

क्या ब्रैकिस्टोक्रोन सबसे छोटा रास्ता है?

नहीं। सबसे छोटा रास्ता सीधी रेखा है। ब्रैकिस्टोक्रोन लंबा है, पर उस पर गेंद ज़्यादा तेज़ चलती है, इसलिए जल्दी पहुँचती है।

ब्रैकिस्टोक्रोन और टॉटोक्रोन में क्या अंतर है?

दोनों चक्रज हैं। ब्रैकिस्टोक्रोन दो बिंदुओं के बीच सबसे तेज़ ट्रैक है। टॉटोक्रोन वह कटोरा है जिसमें गेंद किसी भी शुरुआती ऊँचाई से एक ही समय में तली तक पहुँचती है।

क्या घर्षण उत्तर बदल देता है?

हाँ, थोड़ा। घर्षण के साथ सबसे तेज़ ट्रैक ठीक-ठीक चक्रज नहीं रहता, हालाँकि काफ़ी हद तक वैसा ही दिखता है। यह दौड़ घर्षण को छोड़ देती है, जैसे क्लासिक समस्या छोड़ती है।