최단강하곡선
브라키스토크론(최단강하곡선)은 그리스어로 ‘가장 짧은 시간’이라는 뜻입니다. 정지 상태에서 출발해 마찰 없이 미끄러지는 구슬이 한 점에서 더 낮은 점까지 가장 빨리 가는 트랙입니다. 답은 직선이 아니라, 굴러가는 바퀴 위의 한 점이 그리는 곡선인 사이클로이드입니다.
질문
두 점을 잡습니다. A, 그리고 그 바로 아래는 아닌 더 낮은 점 B입니다. 두 점 사이의 어떤 트랙이 구슬을 A에서 B까지 가장 짧은 시간에 보낼까요? 구슬은 정지 상태에서 출발하고, 중력이 끌어당기며, 그 밖에는 아무것도 작용하지 않습니다. 마찰도, 공기도 없습니다.
왜 직선이 아닌가
직선은 가장 짧은 길이지만, 그 위에서 구슬은 속력이 천천히 붙습니다. 처음에 가파르게 떨어지는 트랙은 구슬을 일찍 빠르게 만들고, 구슬은 남은 길 내내 그 속력을 유지합니다. 더 높은 속력으로 가는 더 긴 길이 시간은 덜 걸릴 수 있습니다. 가장 좋은 트랙은 길이와 속력 사이의 균형입니다.
갈릴레이의 추측
1638년 갈릴레이는 구슬이 곧은 현을 따라갈 때보다 원호를 따라갈 때 더 빨리 내려간다는 것을 보였습니다. 그는 원이 모든 트랙 가운데 가장 빠르다고 짐작했습니다. 원은 빠르지만, 가장 빠르지는 않습니다. 원이 경주에 들어 있는 것은, 원이 바짝 따라붙다가 지는 모습을 볼 수 있게 하기 위해서입니다.
베르누이의 도전
1696년 요한 베르누이는 유럽의 수학자들에게 이 곡선을 찾아보라는 도전장을 냈습니다. 그의 형 야코프, 라이프니츠, 로피탈, 뉴턴이 풀이를 보냈습니다. 뉴턴의 풀이는 이름 없이 도착했지만, 베르누이는 발톱을 보고 사자를 알아보듯 뉴턴을 알아보았다고 합니다. 이 문제는 가장 좋은 곡선을 찾는 수학인 변분법이 시작되는 데 이바지했습니다.
사이클로이드
바퀴를 직선을 따라 굴리면서 테두리의 한 점을 지켜보세요. 그 점은 아치가 줄지어 늘어선 모양을 그립니다. 이것이 사이클로이드입니다. 아치 하나를 뒤집어 A에서 시작하게 하면 최단강하곡선이 됩니다. 요한 베르누이는 떨어지는 구슬을 빛줄기처럼 다루어 이 곡선을 찾았습니다. 빛은 언제나 시간이 가장 짧게 걸리는 길로 가기 때문입니다.
사이클로이드가 결승점 아래로 내려갈 때
B가 옆으로 멀고 그다지 깊지 않으면, 가장 빠른 트랙은 B보다 아래로 내려갔다가 다시 B로 올라옵니다. 더 깊이 내려가서 얻은 속력이 올라가는 손해를 갚고도 남습니다. 즐겨찾기의 ‘완만한 결승점’을 해 보세요. 사이클로이드의 구슬은 B로 가는 직선보다 훨씬 아래로 떨어지고도 가장 먼저 도착합니다.
등시곡선
사이클로이드에는 두 번째 선물이 있습니다. 사이클로이드 모양의 그릇에서는 어느 높이에서 놓은 구슬이든 같은 시간에 바닥에 닿습니다. 그 시간은 π√(a/g)이며, a는 굴러가는 바퀴의 반지름입니다. 크리스티안 하위헌스는 1659년에 이것을 발견하고, 얼마나 크게 흔들리든 시간을 정확히 맞추는 진자시계를 설계하는 데 썼습니다. 둥근 그릇에서는 더 높은 곳에서 놓은 구슬이 더 늦게 도착합니다.
PictorX에서 해 보기
최단강하곡선 경주를 열면 구슬 다섯 개가 A에서 함께 출발합니다. 점은 각 구슬이 10분의 1초마다 어디에 있었는지 보여 줍니다. B를 끌어 결승점을 옮기거나, 그림 위에 나만의 트랙을 그리세요. 모드를 사이클로이드 그릇이나 원형 그릇으로 맞춰 두 그릇을 비교해 보세요. 구슬은 마찰 없이 미끄러집니다. 실제로 굴러가는 구슬은 모두 같은 배율로 느려지므로, 순서는 바뀌지 않습니다.
자주 묻는 질문
브라키스토크론은 무슨 뜻인가요?
그리스어입니다. brachistos는 ‘가장 짧은’, chronos는 ‘시간’이라는 뜻입니다. 브라키스토크론, 곧 최단강하곡선은 가장 빨리 내려가는 곡선입니다.
최단강하곡선은 가장 짧은 길인가요?
아니요. 가장 짧은 길은 직선입니다. 최단강하곡선은 더 길지만, 구슬이 그 위에서 더 빨리 움직이므로 더 일찍 도착합니다.
최단강하곡선과 등시곡선은 어떻게 다른가요?
둘 다 사이클로이드입니다. 최단강하곡선은 두 점 사이의 가장 빠른 트랙입니다. 등시곡선은 구슬이 어느 출발 높이에서든 같은 시간에 바닥에 닿는 그릇입니다.
마찰이 있으면 답이 바뀌나요?
네, 조금 바뀝니다. 마찰이 있으면 가장 빠른 트랙은 더 이상 정확한 사이클로이드가 아니지만, 모양은 아주 비슷합니다. 이 경주는 고전 문제와 마찬가지로 마찰을 빼고 계산합니다.
관련 도구
최단강하곡선 경주
직선 경사로, 원, 포물선, 사이클로이드에서 구슬을 A부터 B까지 경주시키세요. 사이클로이드는 결승점보다 아래로 내려가도 언제나 이깁니다. 나만의 트랙도 그려 보세요.
진자 파동
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진자 파동
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뉴턴의 요람
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뉴턴의 요람
뉴턴의 요람이 강철 구슬 줄을 통해 움직임을 넘기는 방식. 운동량 보존, 에너지 보존, 탄성 있는 딸깍, 그리고 공기와 소리가 마침내 멈추게 하는 이유.
스피로그래프
브라우저에서 하이포트로코이드와 에피트로코이드를 그립니다. R, r, 펜 오프셋을 조절하고 애니메이션·무작위화·PNG 저장.
시도해 볼 준비가 되셨나요?
브라우저에서 PictorX를 엽니다. 설치가 필요 없고 시작하는 데 신용 카드가 필요하지 않습니다.
최단강하곡선 경주 해 보기