La brachistocrona | La curva di discesa più rapida

La domanda

Prendi due punti: A e un punto B più in basso che non si trovi esattamente sotto A. Quale pista tra i due porta una sfera da A a B nel tempo più breve? La sfera parte da ferma, la gravità la tira e nient’altro agisce su di essa: niente attrito, niente aria.

Perché non la linea retta

La linea retta è il percorso più breve, ma su di essa la sfera acquista velocità lentamente. Una pista che prima scende ripida rende la sfera veloce presto, e la sfera mantiene quella velocità per il resto del percorso. Un percorso più lungo a velocità maggiore può richiedere meno tempo. La pista migliore è un equilibrio tra lunghezza e velocità.

L’ipotesi di Galileo

Nel 1638 Galileo mostrò che una sfera scende più in fretta lungo un arco di cerchio che lungo la corda rettilinea. Sospettava che il cerchio fosse la pista più veloce di tutte. È veloce, ma non il più veloce. Il cerchio è in gara perché tu possa vederlo avvicinarsi e perdere.

La sfida di Bernoulli

Nel 1696 Johann Bernoulli sfidò i matematici d’Europa a trovare la curva. Suo fratello Jakob, Leibniz, l’Hôpital e Newton inviarono soluzioni. Quella di Newton arrivò senza il suo nome, e si dice che Bernoulli l’abbia riconosciuto come si riconosce il leone dall’artiglio. Il problema contribuì a far nascere il calcolo delle variazioni, la matematica che cerca la curva migliore.

La cicloide

Fai rotolare una ruota lungo una linea retta e osserva un punto del suo bordo. Traccia una fila di archi: una cicloide. Capovolgi un arco e fallo partire da A: è la brachistocrona. Johann Bernoulli la trovò trattando la sfera che cade come un raggio di luce, che segue sempre il percorso di tempo minimo.

Quando la cicloide scende sotto l’arrivo

Se B è molto spostato di lato e non molto in basso, la pista più veloce passa sotto B e poi risale fino a B. Scendere più in basso fa guadagnare una velocità che compensa ampiamente la risalita. Prova il preferito Arrivo piatto: la sfera della cicloide scende molto sotto la linea verso B e arriva comunque per prima.

La tautocrona

La cicloide ha un secondo dono. In una conca a forma di cicloide, una sfera lasciata andare da qualsiasi altezza arriva in fondo nello stesso tempo: π√(a/g), dove a è il raggio della ruota che rotola. Christiaan Huygens lo scoprì nel 1659 e lo usò per progettare orologi a pendolo che segnano l’ora giusta per quanto ampia sia l’oscillazione. In una conca rotonda le sfere partite più in alto arrivano più tardi.

Provalo in PictorX

Apri la gara della brachistocrona e cinque sfere lasciano A insieme. I punti mostrano dove si trovava ogni sfera a ogni decimo di secondo. Trascina B per spostare l’arrivo, oppure disegna la tua pista sull’immagine. Imposta Modalità su Conca cicloidale o Conca circolare per confrontare le due conche. Le sfere scivolano senza attrito. Sfere vere che rotolano sono tutte più lente dello stesso fattore, quindi l’ordine non cambia.

Domande frequenti

Che cosa significa brachistocrona?

È greco: brachistos significa il più breve e chronos significa tempo. La brachistocrona è la curva di discesa più rapida.

La brachistocrona è il percorso più breve?

No. Il percorso più breve è la linea retta. La brachistocrona è più lunga, ma la sfera la percorre più veloce, quindi arriva prima.

Qual è la differenza tra brachistocrona e tautocrona?

Sono entrambe cicloidi. La brachistocrona è la pista più veloce tra due punti. La tautocrona è la conca in cui una sfera arriva in fondo nello stesso tempo da qualsiasi altezza di partenza.

L’attrito cambia la risposta?

Sì, un po’. Con l’attrito la pista più veloce non è più una cicloide esatta, anche se le somiglia molto. Questa gara non considera l’attrito, come il problema classico.