La brachistochrone | La courbe de descente la plus rapide

La question

Prenez deux points : A, et un point B plus bas qui n’est pas à la verticale de A. Quelle piste entre eux mène une bille de A à B dans le temps le plus court ? La bille part du repos, la gravité la tire, et rien d’autre n’agit sur elle : ni frottement, ni air.

Pourquoi pas la ligne droite

La ligne droite est le chemin le plus court, mais la bille y prend de la vitesse lentement. Une piste qui descend d’abord en pente raide rend la bille rapide tôt, et elle garde cette vitesse pour le reste du trajet. Un chemin plus long à plus grande vitesse peut prendre moins de temps. La meilleure piste est un équilibre entre longueur et vitesse.

L’hypothèse de Galilée

En 1638, Galilée a montré qu’une bille descend plus vite le long d’un arc de cercle que le long de la corde droite. Il pensait que le cercle était la piste la plus rapide de toutes. Il est rapide, mais pas le plus rapide. Le cercle est dans la course pour que vous le voyiez s’approcher et perdre.

Le défi de Bernoulli

En 1696, Johann Bernoulli a mis au défi les mathématiciens d’Europe de trouver la courbe. Son frère Jakob, Leibniz, l’Hôpital et Newton ont envoyé des solutions. Celle de Newton est arrivée sans son nom, et Bernoulli y aurait reconnu son auteur comme on reconnaît le lion à sa griffe. Le problème a contribué à lancer le calcul des variations, les mathématiques qui cherchent la meilleure courbe.

La cycloïde

Faites rouler une roue le long d’une ligne droite et regardez un point de sa jante. Il trace une suite d’arches : une cycloïde. Retournez une arche et faites-la partir de A : c’est la brachistochrone. Johann Bernoulli l’a trouvée en traitant la bille qui tombe comme un rayon de lumière, qui prend toujours le chemin du temps le plus court.

Quand la cycloïde plonge sous l’arrivée

Si B est loin sur le côté et pas très bas, la piste la plus rapide passe sous B puis remonte jusqu’à lui. Descendre plus bas fait gagner une vitesse qui fait plus que compenser la remontée. Essayez le favori Arrivée plate : la bille de la cycloïde plonge bien sous la ligne vers B et arrive quand même la première.

La tautochrone

La cycloïde a un second don. Dans une cuvette en forme de cycloïde, une bille lâchée de n’importe quelle hauteur atteint le fond dans le même temps : π√(a/g), où a est le rayon de la roue qui roule. Christiaan Huygens l’a découvert en 1659 et s’en est servi pour concevoir des horloges à pendule qui restent exactes, quelle que soit l’ampleur de leurs oscillations. Dans une cuvette ronde, les billes lâchées plus haut arrivent plus tard.

L’essayer dans PictorX

Ouvrez la course de la brachistochrone : cinq billes quittent A ensemble. Les points montrent où était chaque bille à chaque dixième de seconde. Faites glisser B pour déplacer l’arrivée, ou dessinez votre propre piste sur l’image. Réglez Mode sur Cuvette cycloïdale ou Cuvette circulaire pour comparer les deux cuvettes. Les billes glissent sans frottement. De vraies billes qui roulent sont toutes plus lentes du même facteur, donc l’ordre ne change pas.

Questions fréquemment posées

Que veut dire brachistochrone ?

C’est du grec : brachistos signifie le plus court et chronos signifie temps. La brachistochrone est la courbe de descente la plus rapide.

La brachistochrone est-elle le chemin le plus court ?

Non. Le chemin le plus court est la ligne droite. La brachistochrone est plus longue, mais la bille y va plus vite, donc elle arrive plus tôt.

Quelle est la différence entre la brachistochrone et la tautochrone ?

Les deux sont des cycloïdes. La brachistochrone est la piste la plus rapide entre deux points. La tautochrone est la cuvette dans laquelle une bille atteint le fond dans le même temps, quelle que soit sa hauteur de départ.

Le frottement change-t-il la réponse ?

Oui, un peu. Avec frottement, la piste la plus rapide n’est plus exactement une cycloïde, même si elle y ressemble beaucoup. Cette course laisse le frottement de côté, comme le problème classique.