Om brachistokronen | Kurvan för snabbaste fall

Frågan

Ta två punkter: A och en lägre punkt B som inte ligger rakt under den. Vilken bana mellan dem tar en kula från A till B på kortast tid? Kulan startar från vila, tyngdkraften drar i den, och inget annat verkar på den: ingen friktion, ingen luft.

Varför inte den raka linjen

Den raka linjen är den kortaste vägen, men på den samlar kulan fart långsamt. En bana som först faller brant gör kulan snabb tidigt, och den behåller farten resten av vägen. En längre väg i högre fart kan ta kortare tid. Den bästa banan är en balans mellan längd och fart.

Galileis gissning

År 1638 visade Galilei att en kula kommer ner snabbare längs en cirkelbåge än längs den raka kordan. Han misstänkte att cirkeln var den snabbaste banan av alla. Den är snabb, men inte snabbast. Cirkeln är med i loppet så att du kan se den komma nära och förlora.

Bernoullis utmaning

År 1696 utmanade Johann Bernoulli Europas matematiker att hitta kurvan. Hans bror Jakob, Leibniz, l'Hôpital och Newton skickade in lösningar. Newtons kom utan hans namn, och Bernoulli sägs ha känt igen honom som lejonet på dess klo. Problemet bidrog till att starta variationskalkylen, matematiken för att hitta den bästa kurvan.

Cykloiden

Rulla ett hjul längs en rät linje och titta på en punkt på dess kant. Den ritar en rad bågar: en cykloid. Vänd en båge upp och ner och låt den börja i A, så är den brachistokronen. Johann Bernoulli hittade den genom att behandla den fallande kulan som en ljusstråle, som alltid tar vägen med kortast tid.

När cykloiden dyker under målet

Om B ligger långt åt sidan och inte särskilt djupt går den snabbaste banan under B och klättrar sedan upp till den. Att gå djupare ger fart som mer än väl betalar för klättringen. Prova favoriten Flackt mål: cykloidens kula faller långt under linjen till B och kommer ändå först.

Tautokronen

Cykloiden har en andra gåva. I en skål formad som en cykloid når en kula som släpps från vilken höjd som helst botten på samma tid: π√(a/g), där a är radien på det rullande hjulet. Christiaan Huygens upptäckte detta 1659 och använde det för att konstruera pendelur som går rätt hur stort utslaget än är. I en rund skål kommer kulorna från högre upp fram senare.

Prova det i PictorX

Öppna Brachistokronloppet så lämnar fem kulor A samtidigt. Prickarna visar var varje kula var varje tiondels sekund. Dra B för att flytta målet, eller rita din egen bana på bilden. Ställ Läge på Cykloidskål eller Cirkelskål för att jämföra de två skålarna. Kulorna glider utan friktion. Riktiga rullande kulor är alla långsammare med samma faktor, så ordningen ändras inte.

Ofta ställda frågor

Vad betyder brachistokron?

Det är grekiska: brachistos betyder kortast och chronos betyder tid. Brachistokronen är kurvan för snabbaste fall.

Är brachistokronen den kortaste vägen?

Nej. Den kortaste vägen är den raka linjen. Brachistokronen är längre, men kulan rör sig snabbare längs den, så den kommer fram tidigare.

Vad är skillnaden mellan brachistokronen och tautokronen?

Båda är cykloider. Brachistokronen är den snabbaste banan mellan två punkter. Tautokronen är skålen där en kula når botten på samma tid från vilken starthöjd som helst.

Ändrar friktion svaret?

Ja, lite. Med friktion är den snabbaste banan inte längre en exakt cykloid, även om den liknar en mycket. Det här loppet bortser från friktion, precis som det klassiska problemet.