Tentang brakistokron | Kurva penurunan tercepat

Pertanyaannya

Ambil dua titik: A, dan titik B yang lebih rendah yang tidak tepat di bawahnya. Lintasan mana di antara keduanya yang membawa bola dari A ke B dalam waktu tersingkat? Bola mulai dari diam, gravitasi menariknya, dan tidak ada hal lain yang bekerja padanya: tanpa gesekan, tanpa udara.

Mengapa bukan garis lurus

Garis lurus adalah jalur terpendek, tetapi di situ kecepatan bola bertambah perlahan. Lintasan yang turun curam lebih dulu membuat bola cepat sejak awal, dan bola mempertahankan kecepatan itu sepanjang sisa jalan. Jalur yang lebih panjang dengan kecepatan lebih tinggi bisa memakan waktu lebih sedikit. Lintasan terbaik adalah keseimbangan antara panjang dan kecepatan.

Dugaan Galileo

Pada 1638 Galileo menunjukkan bahwa bola turun lebih cepat sepanjang busur lingkaran daripada sepanjang tali busur yang lurus. Ia menduga lingkaran adalah lintasan tercepat dari semuanya. Lingkaran memang cepat, tetapi bukan yang tercepat. Lingkaran ikut dalam balapan agar Anda bisa melihatnya nyaris menang lalu kalah.

Tantangan Bernoulli

Pada 1696 Johann Bernoulli menantang para matematikawan Eropa untuk menemukan kurva itu. Saudaranya Jakob, Leibniz, l'Hôpital, dan Newton mengirimkan solusi. Solusi Newton tiba tanpa namanya, dan konon Bernoulli mengenalinya seperti singa dikenali dari cakarnya. Masalah ini turut melahirkan kalkulus variasi, matematika untuk menemukan kurva terbaik.

Sikloid

Gelindingkan roda sepanjang garis lurus dan perhatikan satu titik di tepinya. Titik itu menggambar deretan lengkungan: sikloid. Balik satu lengkungan dan mulailah dari A, maka itulah brakistokron. Johann Bernoulli menemukannya dengan memperlakukan bola yang jatuh seperti seberkas cahaya, yang selalu menempuh jalur dengan waktu tersingkat.

Saat sikloid turun lebih rendah dari titik finis

Jika B jauh ke samping dan tidak terlalu dalam, lintasan tercepat turun lebih rendah dari B lalu naik kembali ke sana. Turun lebih dalam memberi kecepatan yang lebih dari cukup untuk membayar tanjakannya. Coba favorit Finis landai: bola sikloid turun jauh di bawah garis menuju B dan tetap tiba pertama.

Tautokron

Sikloid punya keistimewaan kedua. Dalam mangkuk berbentuk sikloid, bola yang dilepas dari ketinggian mana pun mencapai dasar dalam waktu yang sama: π√(a/g), dengan a adalah jari-jari roda yang menggelinding. Christiaan Huygens menemukan ini pada 1659 dan menggunakannya untuk merancang jam pendulum yang tetap tepat waktu seberapa pun lebar ayunannya. Dalam mangkuk bundar, bola dari tempat yang lebih tinggi tiba lebih lambat.

Coba di PictorX

Buka balapan brakistokron dan lima bola berangkat dari A bersamaan. Titik-titiknya menunjukkan di mana setiap bola berada setiap sepersepuluh detik. Seret B untuk memindahkan titik finis, atau gambar lintasan Anda sendiri di atas gambar. Atur Mode ke Mangkuk sikloid atau Mangkuk lingkaran untuk membandingkan kedua mangkuk. Bola-bola meluncur tanpa gesekan. Bola sungguhan yang menggelinding semuanya lebih lambat dengan faktor yang sama, jadi urutannya tidak berubah.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa arti brakistokron?

Itu bahasa Yunani: brachistos berarti tersingkat dan chronos berarti waktu. Brakistokron adalah kurva penurunan tercepat.

Apakah brakistokron adalah jalur terpendek?

Bukan. Jalur terpendek adalah garis lurus. Brakistokron lebih panjang, tetapi bola bergerak lebih cepat di sepanjangnya, sehingga tiba lebih awal.

Apa perbedaan antara brakistokron dan tautokron?

Keduanya sikloid. Brakistokron adalah lintasan tercepat antara dua titik. Tautokron adalah mangkuk tempat bola mencapai dasar dalam waktu yang sama dari ketinggian awal mana pun.

Apakah gesekan mengubah jawabannya?

Ya, sedikit. Dengan gesekan, lintasan tercepat tidak lagi berupa sikloid yang tepat, meski bentuknya sangat mirip. Balapan ini mengabaikan gesekan, seperti soal klasiknya.