Brachistochrona
Brachistochrona to po grecku najkrótszy czas. To tor, po którym kula, startując ze spoczynku i zsuwając się bez tarcia, najszybciej dociera z jednego punktu do punktu położonego niżej. Odpowiedzią nie jest linia prosta, lecz cykloida, krzywa zakreślana przez punkt toczącego się koła.
Pytanie
Weź dwa punkty: A i położony niżej punkt B, który nie leży dokładnie pod nim. Który tor między nimi doprowadzi kulę z A do B w najkrótszym czasie? Kula startuje ze spoczynku, ciągnie ją grawitacja i nic innego na nią nie działa: ani tarcie, ani powietrze.
Dlaczego nie linia prosta
Linia prosta jest najkrótszą drogą, ale kula nabiera na niej prędkości powoli. Tor, który najpierw opada stromo, wcześnie rozpędza kulę, a ona zachowuje tę prędkość przez resztę drogi. Dłuższa droga przy większej prędkości może zająć mniej czasu. Najlepszy tor to równowaga między długością a prędkością.
Przypuszczenie Galileusza
W 1638 roku Galileusz pokazał, że kula zjeżdża szybciej po łuku okręgu niż po prostej cięciwie. Przypuszczał, że okrąg jest najszybszym torem ze wszystkich. Jest szybki, ale nie najszybszy. Okrąg jest w wyścigu po to, by pokazać, jak blisko podchodzi i mimo to przegrywa.
Wyzwanie Bernoulliego
W 1696 roku Johann Bernoulli rzucił matematykom Europy wyzwanie, by znaleźli tę krzywą. Rozwiązania przysłali jego brat Jakob, Leibniz, l'Hôpital i Newton. Rozwiązanie Newtona nadeszło bez jego nazwiska, a Bernoulli podobno rozpoznał go jak lwa po pazurze. Problem przyczynił się do narodzin rachunku wariacyjnego, matematyki szukania najlepszej krzywej.
Cykloida
Potocz koło wzdłuż linii prostej i obserwuj jeden punkt na jego obwodzie. Zakreśla on rząd łuków: cykloidę. Odwróć jeden łuk do góry nogami i zacznij go w A, a otrzymasz brachistochronę. Johann Bernoulli znalazł ją, traktując spadającą kulę jak promień światła, który zawsze wybiera drogę najkrótszego czasu.
Gdy cykloida schodzi poniżej mety
Jeśli B leży daleko z boku i niezbyt głęboko, najszybszy tor schodzi poniżej B i wspina się z powrotem do niego. Zejście głębiej daje prędkość, która z nawiązką opłaca wspinaczkę. Wypróbuj ustawienie Płytka meta z Ulubionych: kula na cykloidzie opada daleko poniżej linii do B i mimo to dociera pierwsza.
Tautochrona
Cykloida ma jeszcze jeden dar. W misie w kształcie cykloidy kula puszczona z dowolnej wysokości dociera na dno w tym samym czasie: π√(a/g), gdzie a to promień toczącego się koła. Christiaan Huygens odkrył to w 1659 roku i wykorzystał przy projektowaniu zegarów wahadłowych, które chodzą dokładnie bez względu na to, jak szeroko się wahają. W okrągłej misie kule puszczone wyżej docierają później.
Wypróbuj to w PictorX
Otwórz Wyścig brachistochrony, a pięć kul ruszy razem z A. Kropki pokazują, gdzie była każda kula co jedną dziesiątą sekundy. Przeciągnij B, żeby przesunąć metę, albo narysuj własny tor na obrazie. W polu Tryb wybierz opcję Misa cykloidalna lub Misa okrągła, żeby porównać obie misy. Kule zsuwają się bez tarcia. Prawdziwe toczące się kule są wszystkie wolniejsze tyle samo razy, więc kolejność się nie zmienia.
Często zadawane pytania
Co oznacza słowo brachistochrona?
To greka: brachistos znaczy najkrótszy, a chronos znaczy czas. Brachistochrona to krzywa najszybszego spadku.
Czy brachistochrona jest najkrótszą drogą?
Nie. Najkrótszą drogą jest linia prosta. Brachistochrona jest dłuższa, ale kula porusza się po niej szybciej, więc dociera wcześniej.
Czym różni się brachistochrona od tautochrony?
Obie są cykloidami. Brachistochrona to najszybszy tor między dwoma punktami. Tautochrona to misa, w której kula dociera na dno w tym samym czasie z dowolnej wysokości początkowej.
Czy tarcie zmienia odpowiedź?
Tak, trochę. Z tarciem najszybszy tor nie jest już dokładną cykloidą, choć bardzo ją przypomina. Ten wyścig pomija tarcie, tak jak klasyczny problem.
Powiązane narzędzia
Wyścig brachistochrony
Urządź wyścig kul z A do B po prostej rampie, okręgu, paraboli i cykloidzie. Cykloida zawsze wygrywa, nawet gdy schodzi poniżej mety. Narysuj własny tor.
Fala wahadeł
Piętnaście wahadeł, każde trochę krótsze od poprzedniego. Puść je razem i patrz, jak tworzą fale, dzielą się na rzędy i znów wahają się w fazie.
Fala wahadeł
Jak działa fala wahadeł: dlaczego długość wyznacza okres, jak jedno dodatkowe wahnięcie na cykl tworzy fale, rzędy i grupy i dlaczego wahadła znów się zrównują.
Kołyska Newtona
Unieś stalową kulę i pozwól jej spaść. Stuk posyła ten ruch na drugą stronę. Patrz, jak wysokość zamienia się w ruch.
Kołyska Newtona
Jak kołyska Newtona przekazuje ruch przez rząd stalowych kul: zachowanie pędu, zachowanie energii, sprężysty stuk i dlaczego powietrze oraz dźwięk w końcu ją zatrzymują.
Spirograf
Rysuj hipotrochoidy i epitrochoidy w przeglądarce. Ustaw R, r i offset pióra, animuj, losuj i zapisz PNG.
Chcesz wypróbować?
Otwórz PictorX w swojej przeglądarce — do uruchomienia nie jest wymagana żadna instalacja ani karta kredytowa.
Wypróbuj wyścig brachistochrony