Despre brahistocronă | Curba coborârii celei mai rapide

Întrebarea

Ia două puncte: A și un punct B mai jos, care nu se află chiar sub el. Ce pistă dintre ele duce o bilă de la A la B în cel mai scurt timp? Bila pornește din repaus, gravitația o trage și nimic altceva nu acționează asupra ei: nici frecare, nici aer.

De ce nu linia dreaptă

Linia dreaptă este drumul cel mai scurt, dar pe ea bila prinde viteză încet. O pistă care coboară întâi abrupt face bila rapidă devreme, iar ea păstrează viteza tot restul drumului. Un drum mai lung, parcurs cu viteză mai mare, poate dura mai puțin. Cea mai bună pistă este un echilibru între lungime și viteză.

Presupunerea lui Galilei

În 1638, Galilei a arătat că o bilă coboară mai repede pe un arc de cerc decât pe coarda dreaptă. El a bănuit că cercul este cea mai rapidă pistă dintre toate. Este rapid, dar nu cel mai rapid. Cercul este în cursă ca să-l poți vedea apropiindu-se și pierzând.

Provocarea lui Bernoulli

În 1696, Johann Bernoulli i-a provocat pe matematicienii Europei să găsească această curbă. Fratele său Jakob, Leibniz, l'Hôpital și Newton au trimis soluții. Soluția lui Newton a sosit fără numele lui, iar Bernoulli l-ar fi recunoscut așa cum recunoști leul după gheară. Problema a contribuit la nașterea calculului variațional, matematica găsirii celei mai bune curbe.

Cicloida

Rostogolește o roată de-a lungul unei linii drepte și urmărește un punct de pe marginea ei. El descrie un șir de arce: o cicloidă. Întoarce un arc cu susul în jos și pornește-l din A: obții brahistocrona. Johann Bernoulli a găsit-o tratând bila care cade ca pe o rază de lumină, care urmează mereu drumul cu timpul cel mai scurt.

Când cicloida coboară sub punctul de sosire

Dacă B este departe în lateral și nu foarte adânc, cea mai rapidă pistă trece pe sub B și urcă înapoi până la el. Coborârea mai adâncă aduce o viteză care compensează din plin urcușul. Încearcă favoritul Coborâre lină: bila de pe cicloidă coboară mult sub linia spre B și tot ajunge prima.

Tautocrona

Cicloida are încă un dar. Într-un bol în formă de cicloidă, o bilă lăsată liberă de la orice înălțime ajunge pe fundul bolului în același timp: π√(a/g), unde a este raza roții care se rostogolește. Christiaan Huygens a descoperit asta în 1659 și a folosit-o ca să proiecteze ceasuri cu pendul care măsoară timpul exact, oricât de larg ar oscila. Într-un bol rotund, bilele pornite de mai sus ajung mai târziu.

Încearcă-l în PictorX

Deschide Cursa brahistocronei și cinci bile pleacă împreună din A. Punctele arată unde a fost fiecare bilă la fiecare zecime de secundă. Trage B ca să muți punctul de sosire sau desenează-ți propria pistă pe imagine. Setează Mod la Bol cicloidal sau Bol circular ca să compari cele două boluri. Bilele alunecă fără frecare. Bilele reale care se rostogolesc sunt toate mai lente de același număr de ori, așa că ordinea nu se schimbă.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă brahistocronă?

Este un cuvânt grecesc: brachistos înseamnă cel mai scurt, iar chronos înseamnă timp. Brahistocrona este curba coborârii celei mai rapide.

Este brahistocrona drumul cel mai scurt?

Nu. Drumul cel mai scurt este linia dreaptă. Brahistocrona este mai lungă, dar bila se mișcă mai repede pe ea, așa că ajunge mai devreme.

Care este diferența dintre brahistocronă și tautocronă?

Amândouă sunt cicloide. Brahistocrona este cea mai rapidă pistă între două puncte. Tautocrona este bolul în care o bilă ajunge pe fund în același timp, de la orice înălțime de pornire.

Schimbă frecarea răspunsul?

Da, puțin. Cu frecare, cea mai rapidă pistă nu mai este o cicloidă exactă, deși seamănă mult cu una. Această cursă lasă frecarea deoparte, la fel ca problema clasică.