Brakistokron
Brakistokron, Yunancada “en kısa zaman” demektir. Hareketsiz başlayıp sürtünmesiz kayan bir topu bir noktadan daha alçaktaki bir noktaya en hızlı götüren pisttir. Cevap düz çizgi değil, bir sikloiddir: yuvarlanan bir tekerleğin üzerindeki bir noktanın çizdiği eğri.
Soru
İki nokta alın: A ve tam altında olmayan, daha alçaktaki bir B noktası. Aralarındaki hangi pist bir topu A’dan B’ye en kısa sürede götürür? Top hareketsiz başlar, yerçekimi onu çeker ve ona başka hiçbir şey etki etmez: ne sürtünme ne hava.
Neden düz çizgi değil
Düz çizgi en kısa yoldur ama üzerinde top yavaş hızlanır. Önce dik düşen bir pist topu erkenden hızlandırır ve top bu hızı yolun geri kalanında korur. Daha yüksek hızla gidilen daha uzun bir yol daha az sürebilir. En iyi pist, uzunluk ile hız arasında bir dengedir.
Galileo’nun tahmini
1638’de Galileo, bir topun bir daire yayı boyunca düz kirişten daha hızlı indiğini gösterdi. Dairenin tüm pistlerin en hızlısı olduğunu tahmin etti. Daire hızlıdır ama en hızlısı değildir. Daire, yaklaşıp kaybettiğini izleyebilesiniz diye yarışta yer alır.
Bernoulli’nin meydan okuması
1696’da Johann Bernoulli, Avrupa’nın matematikçilerine bu eğriyi bulmaları için meydan okudu. Kardeşi Jakob, Leibniz, l'Hôpital ve Newton çözüm gönderdi. Newton’unki adı olmadan geldi; Bernoulli’nin onu, aslanı pençesinden tanır gibi tanıdığı söylenir. Problem, en iyi eğriyi bulmanın matematiği olan varyasyonlar hesabının doğmasına yardım etti.
Sikloid
Bir tekerleği düz bir çizgi boyunca yuvarlayın ve kenarındaki bir noktayı izleyin. Nokta bir dizi kemer çizer: bir sikloid. Kemerlerden birini ters çevirip A’dan başlatın; bu, brakistokrondur. Johann Bernoulli onu, düşen topu her zaman en kısa süreli yolu izleyen bir ışık ışını gibi ele alarak buldu.
Sikloid bitişin altına indiğinde
B yana doğru uzaktaysa ve çok derinde değilse, en hızlı pist B’nin altına iner ve ona yeniden tırmanır. Daha derine inmek, tırmanışın bedelini fazlasıyla karşılayan bir hız kazandırır. Sığ bitiş favorisini deneyin: sikloiddeki top B’ye giden çizginin çok altına düşer ve yine ilk varır.
Tautokron
Sikloidin ikinci bir armağanı vardır. Sikloid biçimli bir çanakta, herhangi bir yükseklikten bırakılan top dibe aynı sürede ulaşır: π√(a/g); burada a, yuvarlanan tekerleğin yarıçapıdır. Christiaan Huygens bunu 1659’da buldu ve ne kadar geniş salınırlarsa salınsınlar zamanı doğru tutan sarkaçlı saatler tasarlamak için kullandı. Yuvarlak bir çanakta daha yukarıdan bırakılan toplar daha geç varır.
PictorX’te deneyin
Brakistokron yarışını açın: beş top A’dan birlikte çıkar. Noktalar, her topun saniyenin her onda birinde nerede olduğunu gösterir. Bitişi taşımak için B’yi sürükleyin ya da görüntünün üzerine kendi pistinizi çizin. İki çanağı karşılaştırmak için Modu Sikloid çanak ya da Dairesel çanak yapın. Toplar sürtünmesiz kayar. Gerçekte yuvarlanan topların hepsi aynı oranda daha yavaştır, bu yüzden sıralama değişmez.
Sık sorulan sorular
Brakistokron ne demektir?
Yunancadır: brachistos “en kısa”, chronos “zaman” demektir. Brakistokron, en hızlı iniş eğrisidir.
Brakistokron en kısa yol mudur?
Hayır. En kısa yol düz çizgidir. Brakistokron daha uzundur ama top onun üzerinde daha hızlı gider, bu yüzden daha erken varır.
Brakistokron ile tautokron arasındaki fark nedir?
İkisi de sikloiddir. Brakistokron, iki nokta arasındaki en hızlı pisttir. Tautokron ise bir topun her başlangıç yüksekliğinden dibe aynı sürede ulaştığı çanaktır.
Sürtünme cevabı değiştirir mi?
Evet, biraz. Sürtünme olunca en hızlı pist artık tam bir sikloid değildir, yine de ona çok benzer. Bu yarış, klasik problemde olduğu gibi sürtünmeyi hesaba katmaz.
İlgili araçlar
Brakistokron yarışı
Topları A’dan B’ye düz bir rampada, bir dairede, bir parabolde ve bir sikloidde yarıştırın. Sikloid, bitişin altına inse bile her zaman kazanır. Kendi pistinizi çizin.
Sarkaç dalgası
On beş sarkaç, her biri bir öncekinden biraz daha kısa. Onları birlikte bırakın; dalgalara kaymalarını, sıralara ayrılmalarını ve yeniden eş fazda salınmalarını izleyin.
Sarkaç dalgası
Sarkaç dalgası nasıl çalışır: bir sarkacın uzunluğu periyodunu neden belirler, döngü başına bir fazla salınım nasıl dalgalar, sıralar ve gruplar oluşturur ve sarkaçlar neden yeniden hizaya gelir.
Newton beşiği
Bir çelik topu kaldırıp bırakın. Tık, o hareketi diğer tarafa gönderir. Yüksekliğin harekete dönüşmesini izleyin.
Newton beşiği
Newton beşiğinin hareketi bir sıra çelik toptan nasıl geçirdiği: momentumun korunumu, enerjinin korunumu, esnek bir tık ve havanın ile sesin onu sonunda neden durdurduğu.
Spirograf
Tarayıcıda hipotrokoit ve epitrokoit çizin. R, r ve kalem ofsetini ayarlayın, canlandırın, rastgeleleştirin ve PNG kaydedin.
Bunu denemeye hazır mısın?
Pencere PictorX tarayıcınızda - yükleme yok, başlamak için gerekli kredi kartı yok.
Brakistokron yarışını dene