Về đường đoản thời | Đường cong xuống nhanh nhất

Câu hỏi

Lấy hai điểm: A, và một điểm B thấp hơn nhưng không nằm thẳng bên dưới A. Đường trượt nào giữa chúng đưa bi từ A đến B trong thời gian ngắn nhất? Bi xuất phát từ đứng yên, trọng lực kéo nó, và không có gì khác tác động lên nó: không ma sát, không có không khí.

Vì sao không phải đường thẳng

Đường thẳng là đường ngắn nhất, nhưng trên đó bi tăng tốc chậm. Đường trượt dốc mạnh lúc đầu làm bi nhanh từ sớm, và bi giữ tốc độ đó suốt quãng còn lại. Một quãng đường dài hơn với tốc độ cao hơn có thể tốn ít thời gian hơn. Đường trượt tốt nhất là sự cân bằng giữa độ dài và tốc độ.

Phỏng đoán của Galileo

Năm 1638, Galileo chỉ ra rằng bi xuống theo một cung tròn nhanh hơn theo dây cung thẳng. Ông ngờ rằng đường tròn là đường trượt nhanh nhất trong tất cả. Nó nhanh, nhưng không phải nhanh nhất. Hình tròn có mặt trong cuộc đua để bạn xem nó tới rất gần rồi thua.

Thử thách của Bernoulli

Năm 1696, Johann Bernoulli thách các nhà toán học châu Âu tìm ra đường cong đó. Anh trai ông là Jakob, Leibniz, l'Hôpital và Newton đã gửi lời giải. Lời giải của Newton đến mà không ghi tên, và người ta kể rằng Bernoulli đã nhận ra ông như nhận ra con sư tử qua móng vuốt. Bài toán góp phần khai sinh phép tính biến phân, ngành toán học tìm đường cong tốt nhất.

Đường cycloid

Lăn một bánh xe dọc theo một đường thẳng và nhìn một điểm trên vành của nó. Điểm đó vạch ra một dãy vòm: một đường cycloid. Lật ngược một vòm và cho nó bắt đầu tại A, đó là đường đoản thời. Johann Bernoulli tìm ra nó bằng cách coi bi đang rơi như một tia sáng, thứ luôn đi theo đường có thời gian ngắn nhất.

Khi cycloid võng xuống dưới đích

Nếu B nằm xa về một bên và không sâu lắm, đường trượt nhanh nhất đi xuống dưới B rồi leo ngược lên tới nó. Xuống sâu hơn mang lại tốc độ thừa sức bù cho đoạn leo. Thử mục yêu thích Đích thoải: bi trên cycloid rơi xuống thấp hơn hẳn đường thẳng tới B mà vẫn về đích đầu tiên.

Đường đẳng thời

Cycloid còn có món quà thứ hai. Trong một lòng chảo có dạng cycloid, bi thả từ bất kỳ độ cao nào cũng tới đáy trong cùng một thời gian: π√(a/g), trong đó a là bán kính của bánh xe lăn. Christiaan Huygens tìm ra điều này năm 1659 và dùng nó để thiết kế đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ dù dao động rộng đến đâu. Trong lòng chảo tròn, các bi thả từ cao hơn tới muộn hơn.

Thử trong PictorX

Mở cuộc đua đường đoản thời và năm bi cùng rời A. Các chấm cho thấy mỗi bi ở đâu sau mỗi một phần mười giây. Kéo B để dời đích, hoặc tự vẽ đường trượt của bạn trên hình. Đặt Chế độ là Lòng chảo cycloid hoặc Lòng chảo tròn để so sánh hai lòng chảo. Các bi trượt không ma sát. Bi lăn thật đều chậm hơn theo cùng một hệ số, nên thứ tự không thay đổi.

Hỏi thường xuyên

Brachistochrone nghĩa là gì?

Đó là tiếng Hy Lạp: brachistos nghĩa là ngắn nhất và chronos nghĩa là thời gian. Đường đoản thời là đường cong xuống nhanh nhất.

Đường đoản thời có phải là đường ngắn nhất không?

Không. Đường ngắn nhất là đường thẳng. Đường đoản thời dài hơn, nhưng bi chạy trên đó nhanh hơn, nên tới sớm hơn.

Đường đoản thời và đường đẳng thời khác nhau thế nào?

Cả hai đều là cycloid. Đường đoản thời là đường trượt nhanh nhất giữa hai điểm. Đường đẳng thời là lòng chảo trong đó bi tới đáy trong cùng một thời gian từ bất kỳ độ cao xuất phát nào.

Ma sát có làm thay đổi đáp án không?

Có, một chút. Khi có ma sát, đường trượt nhanh nhất không còn đúng là cycloid nữa, dù trông rất giống. Cuộc đua này bỏ qua ma sát, như bài toán cổ điển.