О брахистохроне | Кривая наискорейшего спуска

Вопрос

Возьмите две точки: A и более низкую точку B, которая лежит не точно под ней. Какая трасса между ними доставит шар из A в B за кратчайшее время? Шар стартует из состояния покоя, его тянет гравитация, и больше на него ничего не действует: ни трение, ни воздух.

Почему не прямая

Прямая — кратчайший путь, но на ней шар разгоняется медленно. Трасса, которая сначала круто падает, рано делает шар быстрым, и эту скорость он сохраняет на всём остальном пути. Более длинный путь на большей скорости может занять меньше времени. Лучшая трасса — это равновесие между длиной и скоростью.

Догадка Галилея

В 1638 году Галилей показал, что шар спускается по дуге окружности быстрее, чем по прямой хорде. Он предполагал, что круг — самая быстрая трасса из всех. Круг быстр, но не быстрее всех. Он участвует в гонке, чтобы вы видели, как он подходит совсем близко и проигрывает.

Вызов Бернулли

В 1696 году Иоганн Бернулли бросил математикам Европы вызов — найти эту кривую. Решения прислали его брат Якоб, Лейбниц, Лопиталь и Ньютон. Решение Ньютона пришло без имени автора, и говорят, что Бернулли узнал его, как льва по когтям. Задача помогла зародиться вариационному исчислению — математике поиска наилучшей кривой.

Циклоида

Покатите колесо по прямой и следите за одной точкой на его ободе. Она описывает ряд арок: циклоиду. Переверните одну арку, начните её в A — и это брахистохрона. Иоганн Бернулли нашёл её, рассматривая падающий шар как луч света, который всегда идёт по пути наименьшего времени.

Когда циклоида уходит ниже финиша

Если B далеко в стороне и не очень глубоко, самая быстрая трасса уходит ниже B и снова поднимается к нему. Спуск поглубже даёт скорость, которая с лихвой окупает подъём. Попробуйте «Пологий финиш» из Избранного: шар на циклоиде опускается намного ниже прямой к B и всё равно приходит первым.

Таутохрона

У циклоиды есть второй дар. В чаше в форме циклоиды шар, отпущенный с любой высоты, достигает дна за одно и то же время: π√(a/g), где a — радиус катящегося колеса. Христиан Гюйгенс открыл это в 1659 году и использовал, чтобы сконструировать маятниковые часы, которые идут точно при любом размахе маятника. В круглой чаше шары, отпущенные выше, приходят позже.

Попробуйте в PictorX

Откройте гонку по брахистохроне — и пять шаров одновременно стартуют из A. Точки показывают, где был каждый шар через каждую десятую долю секунды. Потяните B, чтобы передвинуть финиш, или нарисуйте свою трассу на картинке. Выберите Режим «Циклоидная чаша» или «Круглая чаша», чтобы сравнить две чаши. Шары скользят без трения. Настоящие катящиеся шары все медленнее в одно и то же число раз, поэтому порядок не меняется.

Часто задаваемые вопросы

Что означает слово «брахистохрона»?

Это греческое слово: brachistos означает «кратчайший», а chronos — «время». Брахистохрона — кривая наискорейшего спуска.

Брахистохрона — это кратчайший путь?

Нет. Кратчайший путь — прямая. Брахистохрона длиннее, но шар движется по ней быстрее, поэтому приходит раньше.

Чем брахистохрона отличается от таутохроны?

Обе — циклоиды. Брахистохрона — самая быстрая трасса между двумя точками. Таутохрона — чаша, в которой шар достигает дна за одно и то же время с любой начальной высоты.

Меняет ли трение ответ?

Да, немного. С трением самая быстрая трасса уже не точная циклоида, хотя очень на неё похожа. Эта гонка, как и классическая задача, не учитывает трение.