Sobre a braquistócrona | A curva da descida mais rápida

A pergunta

Pegue dois pontos: A e um ponto B mais baixo que não fica bem embaixo dele. Qual pista entre eles leva uma bola de A a B no menor tempo? A bola parte do repouso, a gravidade a puxa, e nada mais age sobre ela: nem atrito, nem ar.

Por que não a linha reta

A linha reta é o caminho mais curto, mas nela a bola ganha velocidade devagar. Uma pista que primeiro desce de forma íngreme deixa a bola rápida logo cedo, e ela mantém essa velocidade pelo resto do caminho. Um caminho mais longo a uma velocidade maior pode levar menos tempo. A melhor pista é um equilíbrio entre comprimento e velocidade.

O palpite de Galileu

Em 1638, Galileu mostrou que uma bola desce mais depressa por um arco de círculo do que pela corda reta. Ele suspeitou que o círculo fosse a pista mais rápida de todas. O círculo é rápido, mas não o mais rápido. Ele está na corrida para você vê-lo chegar perto e perder.

O desafio de Bernoulli

Em 1696, Johann Bernoulli desafiou os matemáticos da Europa a encontrar a curva. O irmão dele, Jakob, Leibniz, l'Hôpital e Newton enviaram soluções. A de Newton chegou sem o nome dele, e dizem que Bernoulli o reconheceu como se reconhece o leão pela garra. O problema ajudou a dar início ao cálculo das variações, a matemática de encontrar a melhor curva.

A cicloide

Role uma roda ao longo de uma linha reta e observe um ponto da sua borda. Ele traça uma fileira de arcos: uma cicloide. Vire um arco de cabeça para baixo, começando em A, e você tem a braquistócrona. Johann Bernoulli a encontrou tratando a bola que cai como um raio de luz, que sempre segue o caminho de menor tempo.

Quando a cicloide desce abaixo da chegada

Se B está bem para o lado e não muito fundo, a pista mais rápida passa abaixo de B e sobe de volta até ele. Descer mais fundo dá uma velocidade que mais do que compensa a subida. Experimente o favorito Descida suave: a bola da cicloide desce bem abaixo da linha até B e mesmo assim chega primeiro.

A tautócrona

A cicloide tem um segundo dom. Numa tigela em forma de cicloide, uma bola solta de qualquer altura chega ao fundo no mesmo tempo: π√(a/g), onde a é o raio da roda que rola. Christiaan Huygens descobriu isso em 1659 e usou a descoberta para projetar relógios de pêndulo que marcam o tempo com precisão, por mais amplo que seja o balanço. Numa tigela redonda, as bolas que partem mais do alto chegam depois.

Experimente no PictorX

Abra a Corrida da braquistócrona e cinco bolas saem de A juntas. Os pontos mostram onde cada bola estava a cada décimo de segundo. Arraste B para mover a chegada ou desenhe sua própria pista na imagem. Defina Modo como Tigela cicloidal ou Tigela circular para comparar as duas tigelas. As bolas deslizam sem atrito. Bolas reais que rolam são todas mais lentas pelo mesmo fator, por isso a ordem não muda.

Perguntas frequentes

O que significa braquistócrona?

É grego: brachistos significa o mais curto e chronos significa tempo. A braquistócrona é a curva de descida mais rápida.

A braquistócrona é o caminho mais curto?

Não. O caminho mais curto é a linha reta. A braquistócrona é mais longa, mas a bola se move mais rápido ao longo dela, por isso chega antes.

Qual é a diferença entre a braquistócrona e a tautócrona?

As duas são cicloides. A braquistócrona é a pista mais rápida entre dois pontos. A tautócrona é a tigela em que uma bola chega ao fundo no mesmo tempo, de qualquer altura de partida.

O atrito muda a resposta?

Sim, um pouco. Com atrito, a pista mais rápida já não é uma cicloide exata, embora se pareça muito com uma. Esta corrida deixa o atrito de fora, como faz o problema clássico.