Over de brachistochroon | De kromme van de snelste daling

De vraag

Neem twee punten: A, en een lager punt B dat er niet recht onder ligt. Welke baan ertussen brengt een bal in de kortste tijd van A naar B? De bal start in rust, de zwaartekracht trekt eraan, en verder werkt er niets op: geen wrijving, geen lucht.

Waarom niet de rechte lijn

De rechte lijn is de kortste weg, maar de bal komt er maar langzaam op snelheid. Een baan die eerst steil daalt, maakt de bal vroeg snel, en die snelheid houdt hij de rest van de weg. Een langere weg met een hogere snelheid kan minder tijd kosten. De beste baan is een evenwicht tussen lengte en snelheid.

Het vermoeden van Galilei

In 1638 liet Galilei zien dat een bal sneller beneden komt langs een cirkelboog dan langs de rechte koorde. Hij vermoedde dat de cirkel de snelste baan van allemaal was. Hij is snel, maar niet de snelste. De cirkel doet mee aan de race, zodat je kunt zien hoe hij dichtbij komt en verliest.

De uitdaging van Bernoulli

In 1696 daagde Johann Bernoulli de wiskundigen van Europa uit om de kromme te vinden. Zijn broer Jakob, Leibniz, l'Hôpital en Newton stuurden oplossingen. Die van Newton kwam zonder zijn naam, en Bernoulli zou hem herkend hebben zoals de leeuw aan zijn klauw. Het probleem hielp de variatierekening op gang te brengen, de wiskunde van het vinden van de beste kromme.

De cycloïde

Rol een wiel langs een rechte lijn en kijk naar één punt op de rand. Dat beschrijft een rij bogen: een cycloïde. Zet één boog op zijn kop en laat hem in A beginnen, en het is de brachistochroon. Johann Bernoulli vond die kromme door de vallende bal te behandelen als een lichtstraal, die altijd de weg van de kortste tijd neemt.

Als de cycloïde onder de finish duikt

Als B ver opzij ligt en niet erg diep, gaat de snelste baan onder B door en klimt dan weer naar B omhoog. Dieper gaan levert snelheid op die de klim meer dan goedmaakt. Probeer de favoriet Vlakke finish: de bal op de cycloïde zakt ver onder de lijn naar B en komt toch als eerste aan.

De tautochroon

De cycloïde heeft nog een tweede gave. In een kom met de vorm van een cycloïde bereikt een bal, losgelaten vanaf elke hoogte, de bodem in dezelfde tijd: π√(a/g), waarbij a de straal van het rollende wiel is. Christiaan Huygens ontdekte dit in 1659 en gebruikte het om slingerklokken te ontwerpen die precies blijven lopen, hoe wijd ze ook zwaaien. In een ronde kom komen de ballen die hoger starten later aan.

Probeer het in PictorX

Open de brachistochroonrace en vijf ballen vertrekken samen uit A. De stippen tonen waar elke bal elke tiende seconde was. Sleep B om de finish te verplaatsen, of teken je eigen baan op het beeld. Zet Modus op Cycloïdekom of Cirkelkom om de twee kommen te vergelijken. De ballen glijden zonder wrijving. Echte rollende ballen zijn allemaal met dezelfde factor langzamer, dus de volgorde verandert niet.

Veelgestelde vragen

Wat betekent brachistochroon?

Het is Grieks: brachistos betekent kortste en chronos betekent tijd. De brachistochroon is de kromme van de snelste daling.

Is de brachistochroon de kortste weg?

Nee. De kortste weg is de rechte lijn. De brachistochroon is langer, maar de bal beweegt er sneller over, dus komt hij eerder aan.

Wat is het verschil tussen de brachistochroon en de tautochroon?

Beide zijn cycloïden. De brachistochroon is de snelste baan tussen twee punten. De tautochroon is de kom waarin een bal vanaf elke starthoogte in dezelfde tijd de bodem bereikt.

Verandert wrijving het antwoord?

Ja, een beetje. Met wrijving is de snelste baan geen exacte cycloïde meer, al lijkt hij er sterk op. Deze race laat wrijving weg, net als het klassieke probleem.