Über die Ulam-Spirale | Primzahlverteilung & Eulers Polynom

Eine Kritzelei von 1963

Stanisław Ulam fand die Spirale 1963 während eines Vortrags auf einer wissenschaftlichen Tagung, den Martin Gardner später lang und sehr langweilig nannte. Ulam schrieb die positiven ganzen Zahlen spiralförmig auf ein quadratisches Raster und kreiste die Primzahlen ein. Die Kreise lagen auf Linien. Er, Myron Stein und Mark Wells berechneten das Bild dann auf dem Computer MANIAC II in Los Alamos bis etwa 100.000 Punkte. Gardners Kolumne Mathematical Games im Scientific American vom März 1964 brachte die Spirale auf das Titelblatt. Die Linien sind kein Beweis dafür, wie die Primzahlen verteilt sind. Sie machen eine Tatsache sichtbar, die die Zahlentheorie in anderer Form schon kannte: Manche quadratischen Polynome liefern viel häufiger Primzahlen als andere.

Wie das Quadrat gefüllt wird

Die Spirale beginnt mit 1 in der Mitte. Die nächste Zahl steht einen Schritt rechts davon, dann biegt der Weg nach links ab, gegen den Uhrzeigersinn, und jede gerade Strecke ist einen Schritt länger als die vorige: ein Schritt, ein Schritt, zwei, zwei, drei, drei und so weiter. Das erste vollständige Quadrat lautet Zeile für Zeile: 17 16 15 14 13, dann 18 5 4 3 12, dann 19 6 1 2 11, dann 20 7 8 9 10, dann 21 22 23 24 25. Sie können auch bei einer anderen Zahl als 1 beginnen. Es erscheinen dieselben Arten von Linien. Der Beginn bei 41 ist der berühmte Fall.

Linien sind quadratische Polynome

Jede Diagonale und jeder waagerechte oder senkrechte Strahl ist genau die Wertemenge eines quadratischen Polynoms f(n) = 4n² + bn + c. Ist b gerade, verläuft die Linie diagonal, und die Werte sind je nach c alle ungerade oder alle gerade. Jede Primzahl außer 2 ist ungerade, daher liegen die Primzahlen auf jeder zweiten Diagonale. Manche dieser Polynome lassen sich faktorisieren. 4n² + 8n + 3 = (2n + 1)(2n + 3), daher ist diese Diagonale fast frei von Primzahlen. Andere liefern überraschend oft Primzahlen. Der Unterschied ist keine Magie. Er hängt davon ab, wie oft das Polynom zwangsläufig durch eine kleine Primzahl teilbar ist. Die Vermutung F von Hardy und Littlewood, ein Spezialfall der Bateman-Horn-Vermutung, sagt die Dichte entlang ax² + bx + c voraus. Die Dichte hängt von der Diskriminante b² − 4ac ab. Für kein quadratisches Polynom ist bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen liefert. Das ist eines der Landau-Probleme, und es ist noch offen.

Eulers vierzig Primzahlen

Eulers Polynom n² + n + 41 ist für jedes n von 0 bis 39 eine Primzahl. Das sind vierzig Primzahlen. Bei n = 40 ergibt es 1.681 = 41², und die Folge endet. Auf der Spirale sind diese Werte das eine quadratische Polynom 4n² − 2n + 41, also Eulers Polynom an den geraden Zahlen, zusammen mit der Gegenrichtung 4n² + 2n + 41. Sie werden zu einer einzigen geraden Diagonale, wenn die mittlere Zelle 41 statt 1 ist. Die ununterbrochene Folge besteht aus den vierzig Werten von 1.523 (neunzehn Schritte südwestlich der Mitte) über 41 bis 1.601 (zwanzig Schritte nordöstlich). Die nächsten Zellen, 1.681 und 1.763, sind zusammengesetzt, daher bricht die goldene Linie ab. Die Konstante von Hardy und Littlewood für 4n² − 2n + 41 beträgt etwa 6,6: Die Vermutung besagt, dass diese Werte fast siebenmal so oft Primzahlen sind wie Zufallszahlen derselben Größe.

Wozu das Bild dient

Die Spirale entscheidet nichts über den Primzahlsatz, und eine lange Diagonale ist kein Beweis. Sie ist eine Landkarte. Primzahlreiche und primzahlarme quadratische Polynome sind auf einen Blick zu erkennen, und deshalb machten sich Ulam und vor ihm 1932 Laurence Klauber die Mühe, sie zu zeichnen. Klauber nutzte ein Dreieck, dessen Zeilen von einer Quadratzahl zur nächsten reichen. Robert Sacks setzte die ganzen Zahlen später auf eine archimedische Spirale, sodass auf jede Windung eine Quadratzahl fällt; dort ist Eulers Polynom eine Kurve statt zweier diagonaler Strahlen. In der quadratischen Spirale lohnt der Blick auf die Formel der Linie unter dem Finger, darauf, wie viele Primzahlen sie enthält, und wie das im Vergleich zu 1 / ln n steht, der Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallszahl dieser Größe prim ist.

Entdecken Sie sie in PictorX

Öffnen Sie die Ulam-Spirale, und Sie sehen das klassische Bild: ein Quadrat aus 101×101 Zellen, Primzahlen in Gold, zusammengesetzte Zahlen ausgeblendet. Ziehen zum Verschieben, Scrollen zum Zoomen. Der Favorit „5×5-Raster“ schreibt jede Zahl aus, sodass Sie den Pfad mit dem Quadrat oben vergleichen können. „Eulers 40“ beginnt die Spirale bei 41 und zeichnet 4n² − 2n + 41. „Reichste Linie“ durchsucht beide Diagonalrichtungen nach der Linie mit den meisten Primzahlen. Klicken Sie auf eine Zelle, um ihre Diagonale in der Anzeige zu sehen, mit dem Polynom, der längsten Primzahlfolge und dem Vergleich mit einer Zufallszahl dieser Größe. „Rest mod 4“ und „Letzte Ziffer“ färben die Primzahlen neu ein. Speichern Sie ein PNG oder öffnen Sie die Leinwand im PictorX-Editor. Kombinieren Sie sie mit der Collatz-Vermutung oder Langtons Ameise für weitere einfache Regeln mit überraschendem Bild.

Häufig gestellte Fragen

Wer hat die Ulam-Spirale entdeckt?

Stanisław Ulam, 1963, als er während einer wissenschaftlichen Tagung herumkritzelte. Martin Gardner machte sie im März 1964 in Scientific American bekannt. Laurence Klauber hatte bereits 1932 eine verwandte dreieckige Anordnung von Primzahlen gezeichnet.

Warum ordnen sich die Primzahlen in Linien an?

Eine Diagonale, Zeile oder Spalte der quadratischen Spirale ist ein quadratisches Polynom 4n² + bn + c. Manche dieser Polynome sind ungewöhnlich oft durch eine kleine Primzahl teilbar, manche fast nie. Die Primzahlen sind das, was übrig bleibt.

Was ist das Besondere an n² + n + 41?

Es ist prim für n = 0, 1, 2, …, 39, also vierzig Primzahlen, und bei n = 40 zusammengesetzt, weil der Wert 41² ist. Beginnt die Spirale bei 41, ist diese Folge eine einzige Diagonale: 1.523 über 41 bis 1.601, die Werte von 4n² − 2n + 41.

Beweist die Spirale, wie die Primzahlen verteilt sind?

Nein. Sie zeigt die Schwankungen, die die Vermutung F von Hardy und Littlewood vorherzusagen versucht. Für kein quadratisches Polynom ist bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen erzeugt.