Ago di Buffon
Lascia cadere un ago di lunghezza l su un pavimento con righe parallele a distanza d. Se l’ago non è più lungo della distanza, la probabilità che incroci una riga è 2l/(πd). PictorX esegue i lanci per te, li disegna uno per uno e capovolge il conteggio, così lo stesso esperimento stima π. Premi play per far cadere aghi a caso. Gli incroci servono a stimare π. Con l’ago lungo metà della distanza, π è circa lanci diviso incroci. Trascina sul pavimento per posare un ago a mano; quello non viene contato.
Come funziona
- Apri questa pagina e premi play. Gli aghi cadono a caso sulle righe.
- Guarda π assestarsi. Con l’ago lungo metà della distanza, è lanci diviso incroci.
- Apri il diagramma del seno, posa un ago a mano o lasciane cadere mille in una volta, poi salva un PNG.
Due numeri decidono un incrocio
Un lancio è determinato dalla distanza x dal centro dell’ago alla riga più vicina e dall’angolo θ tra l’ago e le righe. x va da 0 a d/2. θ va da 0 a π, perché un ago non ha testa e mezzo giro copre ogni direzione. L’ago incrocia una riga quando x ≤ (l/2) sin θ.
La formula dell’ago corto
Per l ≤ d la probabilità di un incrocio è P = 2l/(πd). Le coppie (θ, x) riempiono un rettangolo largo π e alto d/2. Gli incroci sono l’area sotto la curva del seno, e quell’area vale l. Dividendo le due aree resta π al denominatore. Con l = d/2 la probabilità è 1/π, quindi π è circa lanci diviso incroci.
Un modo lento per trovare π
La formula riordinata è π ≈ 2l·N / (d·N_hit). È una stima Monte Carlo, e poco efficiente. Qualche migliaio di lanci di solito rende riconoscibili le prime cifre. La cifra successiva richiede un numero molto più grande. Il ± accanto al valore è un errore standard del rapporto. Trascina sul pavimento per posare un singolo ago e vederne x e θ. Quell’ago viene disegnato ed escluso dal conteggio.
Domande frequenti
Che cos’è l’ago di Buffon?
Un ago di lunghezza l lasciato cadere su righe parallele a distanza d. Per un ago corto, l ≤ d, la probabilità che incroci una riga è 2l/(πd).
Perché nella risposta compare π?
La direzione dell’ago è un angolo da 0 a π. Tutte le cadute possibili riempiono un rettangolo di quella larghezza, e gli incroci sono l’area sotto una curva del seno. Dividendo queste aree resta π al denominatore.
Come stima π l’esperimento?
Conta i lanci N e gli incroci N_hit. Allora π ≈ 2l·N / (d·N_hit). Con l’ago lungo metà della distanza, è lanci diviso incroci.
Perché un ago posato a mano non viene contato?
La stima richiede una posizione e un angolo casuali. Un ago che trascini in posizione viene disegnato perché tu ne veda x e θ, ma non viene aggiunto a N né a N_hit.
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