Simulatore Monte Carlo di π | Stimare pi greco con freccette casuali

Come funziona

Premi Avvia. Le freccette cadono a caso nel quadrato: blu dentro il cerchio, rosse fuori.
Guarda il contatore: π ≈ 4 × dentro ÷ freccette. Le cifre che coincidono già con π sono colorate.
Aumenta la velocità o lancia un milione di freccette in una volta, e guarda la stima assestarsi dentro la fascia sempre più stretta del grafico.

Perché le freccette trovano π

Il quadrato ha lati lunghi 2 e il cerchio al suo interno ha raggio 1. L’area del quadrato è 4 e quella del cerchio è π × 1² = π. Una freccetta che può cadere con la stessa probabilità in qualsiasi punto del quadrato finisce nel cerchio con probabilità π/4, circa il 78,5%. Conta le freccette, conta i colpi a segno, e 4 × colpi ÷ freccette stima π. Il quarto di cerchio funziona allo stesso modo: un quarto di cerchio di raggio 1 in un quadrato di lato 1 ne copre anch’esso π/4.

La legge dei grandi numeri

Una sola freccetta non dice niente: dà 4 oppure 0. Cento freccette danno qualcosa come 3,0 o 3,3. Diecimila freccette di solito arrivano a pochi centesimi da π. La legge dei grandi numeri dice che la quota di colpi a segno si avvicina sempre di più a π/4 man mano che il numero di freccette cresce, quindi la stima converge a π.

Perché converge lentamente

L’errore tipico dopo N freccette è circa 1,64/√N. Per dimezzare l’errore servono quattro volte tante freccette, e una cifra esatta in più ne costa cento volte tante. La fascia ombreggiata del grafico contiene il 95% di tutte le simulazioni e si restringe come 1/√N. Un milione di freccette lascia un errore di circa 0,0016: tre o quattro decimali esatti.

I metodi Monte Carlo

Il metodo prende il nome dal casinò di Monaco. Negli anni Quaranta Stanislaw Ulam e John von Neumann usarono il campionamento casuale per seguire i neutroni attraverso la materia, un problema troppo intricato per le formule. Oggi le simulazioni Monte Carlo stabiliscono il prezzo delle opzioni finanziarie, calcolano la luce nei film d’animazione, prevedono il tempo e testano i farmaci. Lanciare freccette su un cerchio è l’esempio più semplice dell’idea: sostituire un calcolo difficile con tanti esperimenti casuali.

Domande frequenti

Come fanno delle freccette casuali a calcolare π?

Il cerchio copre π/4 del quadrato che lo circonda. Quando le freccette cadono a caso in modo uniforme, circa π/4 di esse colpisce il cerchio, quindi quattro volte la quota di colpi a segno è una stima di π.

Quante freccette servono per arrivare a 3,14?

Di solito decine di migliaia. L’errore si riduce come 1,64/√N: con 10.000 freccette lo scarto tipico è circa 0,016, con 1.000.000 di freccette circa 0,0016. Ogni cifra esatta in più costa cento volte tante freccette.

È la stessa cosa dell’ago di Buffon?

Entrambi stimano π con il caso. L’ago di Buffon lascia cadere aghi su delle righe e conta gli incroci; il metodo Monte Carlo lancia punti su un cerchio. Le freccette sono più facili da capire e convergono più in fretta: a parità di lanci, l’errore è circa un terzo di quello dell’esperimento di Buffon con il mezzo ago.

Le freccette sono davvero casuali?

Vengono dal generatore di numeri pseudocasuali del tuo browser, che per questo esperimento è più che sufficiente. Ogni simulazione è diversa, ed è per questo che la stima vaga prima di assestarsi.

Viene caricato qualcosa online?

No. Tutto viene calcolato e disegnato su una tela nel tuo browser. «Salva» scarica un PNG. «Modifica» apre quell’immagine nell’editor di PictorX.