Il paradosso del compleanno
Quante persone servono in una stanza perché due di loro abbiano probabilmente lo stesso compleanno? Quasi tutti rispondono intorno a 180. La risposta è solo 23: la probabilità è allora del 50,7%, e con 57 persone è già del 99%. Sembra sbagliato perché pensiamo al nostro compleanno, mentre il paradosso riguarda tutte le coppie nella stanza. In un gruppo di sole 23 persone, la probabilità che due di loro compiano gli anni lo stesso giorno è del 50,7%. Sembra decisamente troppo, perché pensiamo al nostro compleanno: la probabilità che qualcuno abbia il tuo stesso compleanno è solo del 6%. Ma 23 persone formano 253 coppie, e ogni coppia potrebbe avere il compleanno in comune. Fai clic per un nuovo gruppo e guarda le coppie moltiplicarsi, aggiungi le persone una alla volta, oppure testa 1.000 gruppi e tutte le dimensioni del gruppo per veder salire la curva.
Come funziona
- Fai clic sulla tela per un nuovo gruppo di 23 persone. Arrivano una alla volta, e per ogni nuova coppia compare una linea.
- Guarda il calendario: un giorno con due compleanni si illumina, e il messaggio indica il compleanno in comune.
- Premi Testa automaticamente per 1.000 gruppi, oppure Testa tutte le dimensioni per veder salire la probabilità da 2 a 100 persone.
Perché l’intuizione ci inganna
In una stanza ragioniamo inconsciamente a partire da noi stessi: qual è la probabilità che qualcuno abbia il mio stesso compleanno? Con 365 giorni questa probabilità è piccola, circa il 6% con altre 22 persone. Ma il paradosso chiede se due persone qualsiasi abbiano lo stesso compleanno: A e B, B e C, A e C, e così via. Ventitré persone formano 23 × 22 / 2 = 253 coppie, e ognuna di esse è un’occasione di coincidenza. Il numero di coppie cresce con il quadrato del gruppo, così la probabilità schizza verso l’alto.
Il calcolo
La cosa più semplice è calcolare la probabilità che nessuno abbia il compleanno in comune con un altro e sottrarla dal 100%. La prima persona prende un giorno qualsiasi. La seconda ha una probabilità di 364/365 di avere un giorno diverso, la terza una probabilità di 363/365 di evitare i primi due, e così via. Per 23 persone: 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 49,3%. La probabilità di almeno un compleanno in comune è quindi 100% − 49,3% = 50,7%.
Qualcuno con il tuo stesso compleanno
La probabilità che qualcuno nel gruppo abbia il tuo stesso compleanno cresce molto più lentamente: 1 − (364/365)ⁿ⁻¹, perché solo n − 1 coppie ti includono. Con 23 persone è del 5,9%, e servono altre 253 persone per superare il 50%. Cambia la domanda in «Qualcuno ha il tuo stesso compleanno» per confrontare le due curve.
Attacchi del compleanno in crittografia
Il paradosso è più di una curiosità da festa. Nella sicurezza informatica è alla base dell’attacco del compleanno: per trovare due input con lo stesso hash, cioè una collisione, un attaccante ha bisogno di molti meno tentativi di quanto ci si aspetterebbe. Per un hash con N valori possibili, una collisione diventa probabile dopo circa √N tentativi anziché N. Per questo le funzioni di hash e le firme digitali richiedono output abbastanza lunghi da rendere irraggiungibili anche √N tentativi: per un hash a 128 bit una collisione richiede circa 2⁶⁴ tentativi.
Domande frequenti
Quante persone servono per avere il 50% di probabilità di un compleanno in comune?
23. Allora la probabilità è del 50,7%. Con 30 persone è del 70,6%, con 41 persone del 90,3%, con 57 persone del 99,0% e con 70 persone del 99,9%.
Perché si chiama paradosso?
Non è una contraddizione, solo una sorpresa: la risposta va contro l’intuizione. Quasi tutti pensano che serva circa la metà di 365, intorno alle 180 persone, perché confrontano tutti con sé stessi invece che tra loro.
E il 29 febbraio e le date di nascita reali?
L’app, come il problema classico, considera 365 giorni equiprobabili. I compleanni reali non sono distribuiti in modo del tutto uniforme nell’anno, e una distribuzione non uniforme rende un compleanno in comune leggermente più probabile, non meno.
Quando è certo un compleanno in comune?
Con 366 persone: i giorni sono solo 365, quindi per il principio dei cassetti almeno due persone su 366 devono avere lo stesso compleanno. Molto prima è praticamente certo: con 100 persone la probabilità è del 99,99997%.
Questo carica qualcosa?
No. Tutto viene calcolato e disegnato su una tela nel browser. Salva scarica un PNG. Modifica apre quell’immagine nell’editor di PictorX.
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Il paradosso del compleanno spiegato: perché 23 persone danno una probabilità del 50,7% di un compleanno in comune, le 253 coppie, il calcolo passo dopo passo, qualcuno con il tuo stesso compleanno, la regola della radice quadrata e gli attacchi del compleanno alle funzioni di hash.
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