मोंटे कार्लो π सिम्युलेटर | यादृच्छिक डार्ट से पाई का अनुमान

यह कैसे काम करता है

शुरू करें दबाएँ। डार्ट वर्ग में यादृच्छिक रूप से गिरते हैं: वृत्त के अंदर नीले, बाहर लाल।
काउंटर देखें: π ≈ 4 × अंदर ÷ डार्ट। जो अंक पहले से π से मेल खाते हैं, वे रंगीन दिखते हैं।
गति बढ़ाएँ या एक साथ दस लाख डार्ट फेंकें, और देखें कि अनुमान चार्ट की सिकुड़ती पट्टी के अंदर कैसे टिक जाता है।

डार्ट π क्यों ढूँढ़ लेते हैं

वर्ग की भुजा 2 है और उसके अंदर के वृत्त की त्रिज्या 1 है। वर्ग का क्षेत्रफल 4 है और वृत्त का π × 1² = π। जिस डार्ट के वर्ग में कहीं भी गिरने की संभावना बराबर हो, वह π/4 प्रायिकता से, यानी लगभग 78.5% बार, वृत्त के अंदर गिरता है। डार्ट गिनें, हिट गिनें, और 4 × हिट ÷ डार्ट π का अनुमान देता है। चौथाई वृत्त भी इसी तरह काम करता है: भुजा 1 वाले वर्ग में त्रिज्या 1 वाला चौथाई वृत्त भी उसका π/4 हिस्सा घेरता है।

बड़ी संख्याओं का नियम

एक डार्ट कुछ नहीं बताता: वह 4 या 0 देता है। सौ डार्ट 3.0 या 3.3 जैसा कुछ देते हैं। दस हज़ार डार्ट आम तौर पर π से बस कुछ सौवें हिस्से दूर रहते हैं। बड़ी संख्याओं का नियम कहता है कि डार्ट की संख्या बढ़ने के साथ हिट का हिस्सा π/4 के और-और क़रीब आता जाता है, इसलिए अनुमान π की ओर अभिसरित होता है।

यह धीरे-धीरे क्यों अभिसरित होता है

N डार्ट के बाद सामान्य त्रुटि लगभग 1.64/√N होती है। त्रुटि आधी करने के लिए चार गुना डार्ट चाहिए, और एक और सही अंक के लिए सौ गुना। चार्ट की छायांकित पट्टी सभी प्रयोगों में से 95% को समेटती है और 1/√N की तरह सिकुड़ती है। दस लाख डार्ट के बाद भी लगभग 0.0016 की त्रुटि रहती है: दशमलव के बाद तीन या चार सही अंक।

मोंटे कार्लो विधियाँ

इस विधि का नाम मोनाको के कसीनो पर रखा गया है। 1940 के दशक में स्टानिस्लाव उलम और जॉन वॉन न्यूमैन ने पदार्थ में न्यूट्रॉनों का रास्ता समझने के लिए यादृच्छिक नमूनों का इस्तेमाल किया, क्योंकि यह समस्या सूत्रों के लिए बहुत उलझी हुई थी। आज मोंटे कार्लो सिमुलेशन वित्तीय ऑप्शन की क़ीमत तय करते हैं, एनिमेशन फ़िल्मों में रोशनी बनाते हैं, मौसम का पूर्वानुमान लगाते हैं और दवाओं का परीक्षण करते हैं। वृत्त पर डार्ट फेंकना इस विचार का सबसे सरल उदाहरण है: एक कठिन गणना की जगह बहुत सारे यादृच्छिक प्रयोग।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

यादृच्छिक डार्ट π कैसे निकालते हैं?

वृत्त अपने चारों ओर के वर्ग का π/4 हिस्सा घेरता है। जब डार्ट एकसमान रूप से यादृच्छिक गिरते हैं, तो उनमें से लगभग π/4 वृत्त पर लगते हैं, इसलिए हिट के हिस्से का चार गुना π का अनुमान है।

3.14 के लिए मुझे कितने डार्ट चाहिए?

आम तौर पर दसियों हज़ार। त्रुटि 1.64/√N की तरह घटती है: 10,000 डार्ट आम तौर पर लगभग 0.016 दूर रहते हैं और 10 लाख डार्ट लगभग 0.0016। हर अतिरिक्त सही अंक के लिए सौ गुना डार्ट चाहिए।

क्या यह बफ़न की सुई जैसा ही है?

दोनों संयोग से π का अनुमान लगाते हैं। बफ़न की सुई में रेखाओं पर सुइयाँ गिराई जाती हैं और प्रतिच्छेदन गिने जाते हैं; मोंटे कार्लो विधि वृत्त पर बिंदु फेंकती है। डार्ट समझने में आसान हैं और तेज़ी से अभिसरित होते हैं: उतने ही फेंकों में त्रुटि बफ़न के आधी सुई वाले प्रयोग की लगभग एक-तिहाई होती है।

क्या डार्ट सचमुच यादृच्छिक हैं?

वे आपके ब्राउज़र के छद्म-यादृच्छिक संख्या जनरेटर से आते हैं, जो इस प्रयोग के लिए ज़रूरत से ज़्यादा अच्छा है। हर प्रयोग अलग होता है, इसीलिए अनुमान टिकने से पहले इधर-उधर भटकता है।

क्या इससे कुछ अपलोड होता है?

नहीं। सब कुछ आपके ब्राउज़र में ही गणना करके एक कैनवास पर बनाया जाता है। "सहेजें" एक PNG डाउनलोड करता है। "संपादित करें" उस इमेज को PictorX एडिटर में खोलता है।