जन्मदिन विरोधाभास सिम्युलेटर | 50% के लिए 23 लोग क्यों काफ़ी हैं

यह कैसे काम करता है

23 लोगों का नया समूह बनाने के लिए कैनवास पर क्लिक करें। लोग एक-एक करके जुड़ते हैं, और हर नए जोड़े के लिए एक रेखा दिखती है।
कैलेंडर पर नज़र रखें: जिस दिन दो जन्मदिन पड़ते हैं वह चमक उठता है, और संदेश साझा जन्मदिन बताता है।
1,000 समूहों के लिए “अपने-आप जाँचें” दबाएँ, या 2 से 100 लोगों तक प्रायिकता को बढ़ते देखने के लिए “हर समूह आकार जाँचें” दबाएँ।

हमारा अंतर्ज्ञान क्यों चूक जाता है

किसी कमरे में हम अनजाने में खुद से शुरू करके सोचते हैं: इसकी क्या प्रायिकता है कि किसी का जन्मदिन मेरे जन्मदिन पर हो? 365 दिनों के साथ यह प्रायिकता छोटी है, 22 दूसरे लोगों के साथ लगभग 6%। लेकिन विरोधाभास यह पूछता है कि क्या किन्हीं भी दो लोगों का जन्मदिन एक ही है: A और B, B और C, A और C, और इसी तरह आगे। तेईस लोगों से 23 × 22 / 2 = 253 जोड़े बनते हैं, और हर जोड़ा मेल का एक मौका है। जोड़ों की संख्या समूह के आकार के वर्ग के साथ बढ़ती है, इसलिए प्रायिकता तेज़ी से ऊपर जाती है।

गणना

सबसे आसान है उस प्रायिकता को निकालना कि किसी का भी जन्मदिन मेल न खाए, और उसे 100% से घटाना। पहला व्यक्ति कोई भी दिन ले लेता है। दूसरे के अलग दिन पर होने की प्रायिकता 364/365 है, तीसरे के पहले दो से बचने की प्रायिकता 363/365, और इसी तरह आगे। 23 लोगों के लिए: 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 49.3%। तब कम से कम एक साझा जन्मदिन की प्रायिकता 100% − 49.3% = 50.7% है।

आपके जन्मदिन वाला कोई

समूह में किसी का जन्मदिन ठीक आपके जन्मदिन पर होने की प्रायिकता कहीं धीरे बढ़ती है: 1 − (364/365)ⁿ⁻¹, क्योंकि जोड़ों में से सिर्फ़ n − 1 में आप शामिल हैं। 23 लोगों के साथ यह 5.9% है, और 50% पार करने के लिए आपको 253 दूसरे लोग चाहिए। दोनों वक्रों की तुलना करने के लिए प्रश्न को “किसी का जन्मदिन आपके जन्मदिन पर” पर बदलें।

क्रिप्टोग्राफ़ी में जन्मदिन हमले

यह विरोधाभास पार्टी में दिखाई जाने वाली कोई तरकीब भर नहीं है। कंप्यूटर सुरक्षा में यह जन्मदिन हमले (बर्थडे अटैक) का आधार है: एक ही हैश वाले दो इनपुट, यानी एक टकराव, खोजने के लिए हमलावर को उम्मीद से कहीं कम प्रयास चाहिए। N संभावित मानों वाले हैश के लिए टकराव N के बजाय लगभग √N प्रयासों के बाद ही संभावित हो जाता है। इसीलिए हैश और डिजिटल हस्ताक्षरों के आउटपुट इतने लंबे होने चाहिए कि √N प्रयास भी पहुँच से बाहर हों: 128-बिट हैश के लिए टकराव में लगभग 2⁶⁴ प्रयास लगते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

साझा जन्मदिन की 50% प्रायिकता के लिए कितने लोग चाहिए?

23। तब प्रायिकता 50.7% है। 30 लोगों के साथ यह 70.6% है, 41 लोगों के साथ 90.3%, 57 लोगों के साथ 99.0%, और 70 लोगों के साथ 99.9%।

इसे विरोधाभास क्यों कहते हैं?

यह कोई अंतर्विरोध नहीं, सिर्फ़ एक आश्चर्य है: उत्तर अंतर्ज्ञान के उलट जाता है। ज़्यादातर लोग अनुमान लगाते हैं कि 365 के लगभग आधे, यानी क़रीब 180 लोग चाहिए, क्योंकि वे सबकी तुलना एक-दूसरे से करने के बजाय खुद से करते हैं।

29 फ़रवरी और असली जन्मतिथियों का क्या?

यह ऐप, क्लासिक समस्या की तरह, 365 समान रूप से संभावित दिन मानता है। असली जन्मदिन साल भर में पूरी तरह बराबर नहीं बँटे होते, और असमान बँटवारा साझा जन्मदिन को थोड़ा ज़्यादा संभावित बनाता है, कम नहीं।

साझा जन्मदिन कब निश्चित होता है?

366 लोगों के साथ: दिन सिर्फ़ 365 हैं, इसलिए कबूतरखाना सिद्धांत के अनुसार 366 लोगों में से कम से कम दो का जन्मदिन एक ही होना चाहिए। उससे बहुत पहले ही यह व्यावहारिक रूप से निश्चित हो जाता है: 100 लोगों के साथ प्रायिकता 99.99997% है।

क्या कुछ अपलोड होता है?

नहीं। सब कुछ आपके ब्राउज़र में ही गणना करके कैनवास पर बनाया जाता है। सहेजें से PNG डाउनलोड होता है। संपादित करें से वह चित्र PictorX संपादक में खुलता है।