मुफ़्त बफ़न की सुई | सुइयाँ गिराकर π का अनुमान

यह कैसे काम करता है

यह पेज खोलें और चलाएँ दबाएँ। सुइयाँ रेखाओं पर यादृच्छिक रूप से गिरती हैं।
π को स्थिर होते देखें। जब सुई अंतराल की आधी हो, तो यह फेंकों को प्रतिच्छेदनों से भाग देने के बराबर है।
साइन आरेख खोलें, हाथ से एक सुई रखें या एक साथ हज़ार गिराएँ, फिर PNG सेव करें।

दो संख्याएँ प्रतिच्छेदन तय करती हैं

एक फेंक दो चीज़ों से तय होती है: सुई के केंद्र से निकटतम रेखा तक की दूरी x, और सुई तथा रेखाओं के बीच का कोण θ। x का मान 0 से d/2 तक होता है। θ का मान 0 से π तक होता है, क्योंकि सुई का कोई सिरा नहीं होता और आधा घुमाव हर दिशा को समेट लेता है। जब x ≤ (l/2) sin θ हो, तब सुई रेखा को काटती है।

छोटी सुई का सूत्र

l ≤ d के लिए प्रतिच्छेदन की प्रायिकता P = 2l/(πd) है। युग्म (θ, x) एक आयत भरते हैं जो π चौड़ा और d/2 ऊँचा है। प्रतिच्छेदन साइन वक्र के नीचे का क्षेत्रफल हैं, और वह क्षेत्रफल l है। दोनों क्षेत्रफलों को भाग देने पर हर में π बचता है। l = d/2 पर प्रायिकता 1/π है, इसलिए π लगभग फेंकों को प्रतिच्छेदनों से भाग देने के बराबर है।

π खोजने का धीमा तरीका

पुनर्व्यवस्थित सूत्र π ≈ 2l·N / (d·N_hit) है। यह एक मोंटे कार्लो अनुमान है, और अकुशल भी। कुछ हज़ार फेंकों से आम तौर पर पहले अंक पहचाने जाने लगते हैं। अगले अंक के लिए कहीं बड़ी गिनती चाहिए। रीडआउट के पास का ± अनुपात की एक मानक त्रुटि है। एक अकेली सुई रखने और उसका x और θ देखने के लिए फ़र्श पर ड्रैग करें। वह सुई बनाई जाती है और गिनती से बाहर रखी जाती है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

बफ़न की सुई क्या है?

d दूरी पर खिंची समांतर रेखाओं पर गिराई गई लंबाई l की सुई। छोटी सुई, l ≤ d, के लिए उसके किसी रेखा को काटने की प्रायिकता 2l/(πd) है।

उत्तर में π क्यों आता है?

सुई की दिशा 0 से π तक का एक कोण है। सभी संभावित गिरावटें उतनी चौड़ी एक आयत भरती हैं, और प्रतिच्छेदन एक साइन वक्र के नीचे का क्षेत्रफल हैं। इन क्षेत्रफलों को भाग देने पर हर में π बचता है।

यह प्रयोग π का अनुमान कैसे लगाता है?

फेंक N और प्रतिच्छेदन N_hit गिनें। तब π ≈ 2l·N / (d·N_hit)। जब सुई अंतराल की आधी हो, तो यह फेंकों को प्रतिच्छेदनों से भाग देना है।

हाथ से रखी सुई गिनती में क्यों नहीं आती?

अनुमान के लिए यादृच्छिक स्थिति और यादृच्छिक कोण चाहिए। जिस सुई को आप ड्रैग करके रखते हैं, वह इसलिए बनाई जाती है कि आप x और θ देख सकें, पर उसे N या N_hit में नहीं जोड़ा जाता।