محاكاة مونت كارلو لحساب π | تقدير باي بسهام عشوائية

كيف يعمل

اضغط ابدأ. تسقط السهام عشوائيًا في المربع: زرقاء داخل الدائرة، وحمراء خارجها.
راقب العدّاد: π ≈ 4 × داخل ÷ السهام. الأرقام التي تطابق π بالفعل تظهر ملوّنة.
ارفع السرعة أو ارمِ مليون سهم دفعة واحدة، وشاهد التقدير يستقر داخل الشريط الذي يضيق على المخطط.

لماذا تجد السهام π

طول ضلع المربع 2، ونصف قطر الدائرة التي بداخله 1. مساحة المربع 4، ومساحة الدائرة π × 1² = π. والسهم الذي يتساوى احتمال سقوطه في أي مكان من المربع يسقط داخل الدائرة باحتمال π/4، أي نحو 78.5%. عُدّ السهام، وعُدّ الإصابات، فيقدّر 4 × الإصابات ÷ السهام قيمة π. وربع الدائرة يعمل بالطريقة نفسها: ربع دائرة نصف قطرها 1 داخل مربع طول ضلعه 1 يغطي هو أيضًا π/4 منه.

قانون الأعداد الكبيرة

سهم واحد لا يخبرك بشيء: يعطي 4 أو 0. ومئة سهم تعطي شيئًا مثل 3.0 أو 3.3. أما عشرة آلاف سهم فتبتعد عادةً عن π ببضعة أجزاء من مئة فقط. ويقول قانون الأعداد الكبيرة إن نسبة الإصابات تقترب أكثر فأكثر من π/4 كلما زاد عدد السهام، لذا يتقارب التقدير نحو π.

لماذا يتقارب ببطء

يبلغ الخطأ النموذجي بعد N سهمًا نحو 1.64/√N. ولتنصيف الخطأ تحتاج إلى أربعة أضعاف السهام، ورقم صحيح إضافي واحد يكلّف مئة ضعف. يحتوي الشريط المظلل على المخطط 95% من كل الجولات، ويضيق مثل 1/√N. ومليون سهم يترك خطأً يبلغ نحو 0.0016: ثلاث أو أربع خانات عشرية صحيحة.

طرق مونت كارلو

سُمّيت الطريقة باسم الكازينو في موناكو. في أربعينيات القرن العشرين استخدم ستانيسواف أولام وجون فون نيومان المعاينة العشوائية لتتبّع النيوترونات عبر المادة، وهي مسألة أعقد من أن تحلّها الصيغ. واليوم تُستخدم محاكاة مونت كارلو لتسعير الخيارات المالية، وحساب الضوء في أفلام الرسوم المتحركة، والتنبؤ بالطقس، واختبار الأدوية. ورمي السهام على دائرة هو أبسط مثال على الفكرة: استبدل حسابًا صعبًا بتجارب عشوائية كثيرة.

الأسئلة المتداولة

كيف تحسب السهام العشوائية π؟

تغطي الدائرة π/4 من المربع المحيط بها. وعندما تسقط السهام عشوائيًا بانتظام، يصيب نحو π/4 منها الدائرة، لذا فإن أربعة أضعاف نسبة الإصابات تقدير لـ π.

كم سهمًا أحتاج للوصول إلى 3.14؟

عادةً عشرات الآلاف. يتقلص الخطأ مثل 1.64/√N: مع 10000 سهم يكون الفرق عادةً نحو 0.016، ومع مليون سهم نحو 0.0016. وكل رقم صحيح إضافي يكلّف مئة ضعف من السهام.

هل هذه هي إبرة بوفون نفسها؟

كلاهما يقدّر π بالصدفة. في إبرة بوفون تُسقط الإبر على خطوط وتُعدّ التقاطعات، أما طريقة مونت كارلو فترمي نقاطًا على دائرة. السهام أسهل فهمًا وتتقارب أسرع: مع العدد نفسه من الرميات يكون الخطأ نحو ثلث خطأ تجربة بوفون بنصف الإبرة.

هل السهام عشوائية حقًا؟

تأتي من مولّد الأعداد شبه العشوائية في متصفحك، وهو أكثر من كافٍ لهذه التجربة. كل جولة مختلفة، ولهذا يتجوّل التقدير قبل أن يستقر.

هل يُرفع أي شيء؟

لا. يُحسب كل شيء ويُرسم على لوحة في متصفحك. «حفظ» ينزّل ملف PNG. «تحرير» يفتح تلك الصورة في محرر PictorX.