إبرة بوفون مجانًا | تقدير π بإسقاط الإبر

كيف يعمل

افتح هذه الصفحة واضغط تشغيل. تسقط الإبر على الخطوط عشوائيًا.
شاهد π وهي تستقر. عندما تكون الإبرة نصف المسافة، فهي عدد الرميات مقسومًا على عدد التقاطعات.
افتح مخطط الجيب، أو ضع إبرة واحدة يدويًا، أو أسقط ألف إبرة دفعة واحدة، ثم احفظ ملف PNG.

عددان يحسمان التقاطع

تتحدد الرمية بالمسافة x من منتصف الإبرة إلى أقرب خط، وبالزاوية θ بين الإبرة والخطوط. تتراوح x من 0 إلى d/2، وتتراوح θ من 0 إلى π، لأن الإبرة لا رأس لها ونصف دورة يغطي كل الاتجاهات. تقطع الإبرة الخط عندما يكون x ≤ (l/2) sin θ.

صيغة الإبرة القصيرة

عندما يكون l ≤ d، يكون احتمال التقاطع P = 2l/(πd). تملأ الأزواج (θ, x) مستطيلًا عرضه π وارتفاعه d/2. التقاطعات هي المساحة تحت منحنى الجيب، وهذه المساحة تساوي l. وبقسمة المساحتين تبقى π في المقام. عند l = d/2 يكون الاحتمال 1/π، فتكون π تقريبًا عدد الرميات مقسومًا على عدد التقاطعات.

طريقة بطيئة لإيجاد π

بعد إعادة الترتيب تصبح الصيغة π ≈ 2l·N / (d·N_hit). إنه تقدير بطريقة مونت كارلو، وتقدير غير فعّال. بضعة آلاف من الرميات تكفي عادةً لتمييز الأرقام الأولى. أما الرقم التالي فيحتاج إلى عدد أكبر بكثير. علامة ± بجانب القراءة هي خطأ معياري واحد للنسبة. اسحب على الأرضية لوضع إبرة واحدة ورؤية x وθ الخاصين بها. تُرسم تلك الإبرة لكنها تُستبعد من العدّ.

الأسئلة المتداولة

ما إبرة بوفون؟

إبرة طولها l تُسقط على خطوط متوازية تفصل بينها مسافة d. بالنسبة إلى إبرة قصيرة، l ≤ d، يكون احتمال أن تقطع خطًا هو 2l/(πd).

لماذا تظهر π في الجواب؟

اتجاه الإبرة زاوية من 0 إلى π. تملأ كل حالات السقوط الممكنة مستطيلًا بهذا العرض، والتقاطعات هي المساحة تحت منحنى جيب. وبقسمة هاتين المساحتين تبقى π في المقام.

كيف تقدّر التجربة π؟

عُدّ الرميات N والتقاطعات N_hit. عندئذٍ π ≈ 2l·N / (d·N_hit). وعندما تكون الإبرة نصف المسافة، يصبح ذلك عدد الرميات مقسومًا على عدد التقاطعات.

لماذا لا تُحتسب الإبرة الموضوعة يدويًا؟

يحتاج التقدير إلى موضع عشوائي وزاوية عشوائية. الإبرة التي تسحبها إلى مكانها تُرسم لترى x وθ، لكنها لا تُضاف إلى N ولا إلى N_hit.