مفارقة عيد الميلاد
كم شخصًا يلزم أن يجتمع في غرفة حتى يُرجَّح أن يشترك اثنان منهم في عيد الميلاد؟ يخمّن معظم الناس نحو 180. والجواب 23 فقط: عندها يبلغ الاحتمال 50.7%، ومع 57 شخصًا يصل إلى 99%. يبدو ذلك خاطئًا لأننا نفكر في عيد ميلادنا نحن، بينما تتعلق المفارقة بكل زوج من الأشخاص في الغرفة. في مجموعة من 23 شخصًا فقط، يبلغ احتمال أن يشترك اثنان منهم في عيد الميلاد 50.7%. يبدو ذلك مرتفعًا جدًا، لأننا نفكر في عيد ميلادنا نحن: فاحتمال أن يشاركك أحدٌ عيد ميلادك 6% فقط. لكن 23 شخصًا يكوّنون 253 زوجًا، وكل زوج قد يشترك في عيد الميلاد. انقر لتكوين مجموعة جديدة وشاهد الأزواج تتراكم، أو أضف الأشخاص واحدًا تلو الآخر، أو اختبر 1000 مجموعة وكل أحجام المجموعات لترى المنحنى يرتفع.
كيف يعمل
- انقر على لوحة الرسم لتكوين مجموعة جديدة من 23 شخصًا. ينضمون واحدًا تلو الآخر، ويظهر خط لكل زوج جديد.
- راقب التقويم: يضيء اليوم الذي يقع فيه عيدا ميلاد، وتذكر الرسالة عيد الميلاد المشترك.
- اضغط «اختبار تلقائي» لاختبار 1000 مجموعة، أو «اختبار كل أحجام المجموعات» لترى الاحتمال يرتفع من 2 إلى 100 شخص.
لماذا يخذلنا الحدس
في الغرفة نفكر دون وعي انطلاقًا من أنفسنا: ما احتمال أن يشاركني أحدٌ عيد ميلادي؟ مع 365 يومًا يكون هذا الاحتمال صغيرًا، نحو 6% مع 22 شخصًا آخر. لكن المفارقة تسأل هل يشترك أي شخصين في عيد الميلاد: A وB، وB وC، وA وC، وهكذا. ثلاثة وعشرون شخصًا يكوّنون 23 × 22 / 2 = 253 زوجًا، وكل زوج منها فرصة لتطابق. ويزداد عدد الأزواج مع مربع حجم المجموعة، ولذلك يقفز الاحتمال بسرعة.
الحساب
أسهل طريقة هي حساب احتمال ألا يشترك أحد في عيد الميلاد، ثم طرحه من 100%. يأخذ الشخص الأول أي يوم. وللثاني احتمال 364/365 أن يقع عيد ميلاده في يوم مختلف، وللثالث احتمال 363/365 أن يتجنب يومي الأولين، وهكذا. مع 23 شخصًا: 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 49.3%. فيكون احتمال عيد ميلاد مشترك واحد على الأقل 100% − 49.3% = 50.7%.
شخص يشاركك عيد ميلادك
احتمال أن يشاركك أحدٌ في المجموعة عيد ميلادك أنت ينمو أبطأ بكثير: 1 − (364/365)ⁿ⁻¹، لأن n − 1 فقط من الأزواج تضمّك. مع 23 شخصًا يبلغ 5.9%، وتحتاج إلى 253 شخصًا آخر ليتجاوز 50%. بدّل السؤال إلى «أحدهم يشاركك عيد ميلادك» لتقارن بين المنحنيين.
هجمات عيد الميلاد في علم التشفير
المفارقة أكثر من مجرد خدعة للتسلية في الحفلات. ففي أمن الحاسوب هي أساس هجوم عيد الميلاد: للعثور على مُدخلين لهما قيمة التجزئة نفسها، أي تصادم، يحتاج المهاجم إلى محاولات أقل بكثير مما قد تتوقع. فلدالة تجزئة لها N من القيم الممكنة، يصبح التصادم مرجحًا بعد نحو √N من المحاولات لا N. ولهذا تحتاج دوال التجزئة والتوقيعات الرقمية إلى مخرجات طويلة بما يكفي لتبقى حتى √N من المحاولات بعيدة المنال: ففي تجزئة بطول 128 بت يتطلب التصادم نحو 2⁶⁴ محاولة.
الأسئلة المتداولة
كم شخصًا يلزم لكي يبلغ احتمال وجود عيد ميلاد مشترك 50%؟
23. عندها يبلغ الاحتمال 50.7%. ومع 30 شخصًا يبلغ 70.6%، ومع 41 شخصًا 90.3%، ومع 57 شخصًا 99.0%، ومع 70 شخصًا 99.9%.
لماذا تُسمى مفارقة؟
ليست تناقضًا، بل مفاجأة فقط: فالجواب يخالف الحدس. يخمّن معظم الناس أنك تحتاج إلى نحو نصف 365، أي نحو 180 شخصًا، لأنهم يقارنون الجميع بأنفسهم بدلًا من مقارنتهم بعضهم ببعض.
وماذا عن 29 فبراير وتواريخ الميلاد الحقيقية؟
يفترض التطبيق، مثل المسألة الكلاسيكية، 365 يومًا متساوية الاحتمال. أعياد الميلاد الحقيقية لا تتوزع على السنة بالتساوي تمامًا، والتوزيع غير المتساوي يجعل عيد الميلاد المشترك أرجح قليلًا لا أقل.
متى يكون عيد الميلاد المشترك مؤكدًا؟
مع 366 شخصًا: فهناك 365 يومًا فقط، لذا بحسب مبدأ برج الحمام لا بد أن يشترك اثنان على الأقل من 366 شخصًا في يوم واحد. وقبل ذلك بكثير يصبح الأمر شبه مؤكد عمليًا: مع 100 شخص يبلغ الاحتمال 99.99997%.
هل يُرفع شيء؟
لا. كل شيء يُحسب ويُرسم على لوحة رسم في متصفحك. «حفظ» ينزّل ملف PNG. «تحرير» يفتح تلك الصورة في محرر PictorX.
الأدوات ذات الصلة
مفارقة عيد الميلاد
شرح مفارقة عيد الميلاد: لماذا يعطي 23 شخصًا احتمال 50.7% لوجود عيد ميلاد مشترك، والأزواج الـ253، والحساب خطوة بخطوة، وشخص يشاركك عيد ميلادك، وقاعدة الجذر التربيعي، وهجمات عيد الميلاد على دوال التجزئة.
مسألة مونتي هول
جرّب مسألة مونتي هول بنفسك: اختر بابًا من ثلاثة، وشاهد مونتي يفتح بابًا خلفه عنزة، ثم ابقَ أو بدّل. العب بنفسك أو دع الحاسوب يلعب 1000 لعبة، وشاهد التبديل يربح مرتين من كل ثلاث.
كرات من المزهرية
اسحب كرات من مزهرية دون أن تنظر ودون أن تعيدها. تابع كل سحبة على مخطط شجري: 5/9 × 4/8 = 5/18 لكرتين حمراوين. ثم دع الحاسوب يسحب 1000 جولة.
مغالطة المقامر
ارمِ عملة عادلة 100 مرة في الثانية وشاهد ما يأتي بعد كل مرة تظهر فيها الصورة 5 أو 8 مرات متتالية. لا يزال الاحتمال 50/50: العملة لا ذاكرة لها.
رمي النرد
ارمِ حجر نرد واحدًا أو اثنين أو ثلاثة ألف مرة، وقارن مخطط الأعمدة الذي يبيّن عدد مرات ظهور كل نتيجة بالتكرارات المتوقعة. واكتشف لماذا يكون 7 أكثر المجاميع شيوعًا.
عدّ الأوراق بنظام Hi-Lo
تعلّم عدّ الأوراق بنظام Hi-Lo على طاولة بلاك جاك في متصفحك: +1 أو 0 أو −1 لكل ورقة، والعدّ الجاري، والعدّ الحقيقي، والرهان. تدرّب على العدّ، أو عُدّ رزمة كاملة، أو العب مليون جولة.
π بطريقة مونت كارلو
ارمِ آلاف السهام العشوائية على مربع بداخله دائرة، وشاهد نسبة ما يسقط في الداخل تتحول إلى π. ابدأ وأوقف وتابع التقدير وهو يتقارب.
هل أنت مستعد لتجربتها؟
افتح PictorX في متصفحك - بدون تثبيت، ولا يلزم وجود بطاقة ائتمان للبدء.
الانتقال إلى المحرر