Monte Carlo ile π
Saf rastlantı kesin bir sayıyı hesaplayabilir mi? Bir karenin içine bir daire çizin ve ona rastgele dart okları atın. Daire karenin π/4’ünü kaplar, bu yüzden okların yaklaşık π/4’ü dairenin içine düşer. Bu oranı dörtle çarpın, elinizde π için bir tahmin olur. Ok sayısı arttıkça tahmin yaklaşır: 3, sonra 3,1, sonra 3,14, sonra 3,141… Başlat’a basın; oklar karenin içine rastgele düşer. Dairenin içine düşenlerin oranı π/4’tür, bu yüzden π ≈ 4 × içeride ÷ oklar. Ok sayısı arttıkça tahmin yaklaşır: yüz kat fazla ok, yaklaşık bir doğru basamak daha kazandırır. Elle ok atmak için kareye tıklayın.
Nasıl çalışır
- Başlat’a basın. Oklar kareye rastgele düşer: dairenin içindekiler mavi, dışındakiler kırmızıdır.
- Sayacı izleyin: π ≈ 4 × içeride ÷ oklar. π ile zaten eşleşen basamaklar renklidir.
- Hızı artırın ya da bir milyon oku birden atın; tahminin grafikteki daralan bandın içine yerleşmesini izleyin.
Okların π’yi bulmasının nedeni
Karenin kenar uzunluğu 2, içindeki dairenin yarıçapı 1’dir. Karenin alanı 4, dairenin alanı π × 1² = π’dir. Karenin her yerine eşit olasılıkla düşebilen bir ok, π/4 olasılıkla, yani yaklaşık %78,5 olasılıkla dairenin içine düşer. Okları sayın, isabetleri sayın; 4 × isabet ÷ ok, π’yi tahmin eder. Çeyrek daire de aynı şekilde çalışır: kenarı 1 olan bir karedeki yarıçapı 1 olan çeyrek daire de karenin π/4’ünü kaplar.
Büyük sayılar yasası
Tek bir ok size hiçbir şey söylemez: 4 ya da 0 verir. Yüz ok 3,0 ya da 3,3 gibi bir sonuç verir. On bin ok genellikle π’den yalnızca birkaç yüzde bir sapar. Büyük sayılar yasası, ok sayısı arttıkça isabet oranının π/4’e giderek daha çok yaklaştığını söyler; bu yüzden tahmin π’ye yakınsar.
Neden yavaş yakınsar?
N ok atıldıktan sonraki tipik hata yaklaşık 1,64/√N’dir. Hatayı yarıya indirmek için dört kat fazla ok gerekir; bir doğru basamak daha ise yüz kat fazla oka mal olur. Grafikteki gölgeli bant tüm denemelerin %95’ini içerir ve 1/√N gibi daralır. Bir milyon ok yaklaşık 0,0016’lık bir hata bırakır: üç ya da dört doğru ondalık basamak.
Monte Carlo yöntemleri
Yöntem adını Monako’daki kumarhaneden alır. 1940’larda Stanislaw Ulam ve John von Neumann, formüllerle çözülemeyecek kadar karmaşık bir problem olan nötronların madde içindeki yolunu izlemek için rastgele örnekleme kullandı. Bugün Monte Carlo simülasyonları finansal opsiyonları fiyatlandırıyor, animasyon filmlerinde ışığı hesaplıyor, hava durumunu tahmin ediyor ve ilaçları test ediyor. Bir daireye dart atmak bu fikrin en basit örneğidir: zor bir hesabın yerine çok sayıda rastgele deney koymak.
Sık sorulan sorular
Rastgele oklar π’yi nasıl hesaplar?
Daire, çevresindeki karenin π/4’ünü kaplar. Oklar düzgün biçimde rastgele düştüğünde yaklaşık π/4’ü daireye isabet eder; bu yüzden isabet oranının dört katı π için bir tahmindir.
3,14 için kaç ok gerekir?
Genellikle on binlerce. Hata 1,64/√N gibi küçülür: 10.000 okla sapma tipik olarak yaklaşık 0,016, 1.000.000 okla yaklaşık 0,0016 olur. Her ek doğru basamak yüz kat fazla oka mal olur.
Bu, Buffon iğnesiyle aynı şey mi?
İkisi de π’yi rastlantıyla tahmin eder. Buffon iğnesi çizgilerin üzerine iğneler düşürür ve kesişmeleri sayar; Monte Carlo yöntemi ise bir daireye noktalar atar. Oklar daha kolay anlaşılır ve daha hızlı yakınsar: aynı atış sayısında hata, Buffon’un yarım iğne deneyindeki hatanın yaklaşık üçte biridir.
Oklar gerçekten rastgele mi?
Tarayıcınızın sözde rastgele sayı üretecinden gelirler ve bu üreteç bu deney için fazlasıyla yeterlidir. Her deneme farklıdır; tahminin oturmadan önce dolaşmasının nedeni budur.
Bir şey yükleniyor mu?
Hayır. Her şey tarayıcınızda hesaplanır ve bir tuval üzerine çizilir. “Kaydet” bir PNG indirir. “Düzenle” bu görüntüyü PictorX düzenleyicisinde açar.
İlgili araçlar
Monte Carlo yöntemi ve π
Rastgele dart okları π’yi nasıl tahmin eder: 4 × içeride ÷ oklar formülünün ardındaki alan fikri, büyük sayılar yasası, hatanın neden 1/√N gibi küçüldüğü ve Monte Carlo yöntemlerinin kökeni.
Buffon iğnesi
Tarayıcınızda çizgili bir zemine iğneler düşürün. Kesişmeleri sayın ve Buffon’un 1777 deneyinin π’yi nasıl tahmin ettiğini izleyin.
Zar atma
Bir, iki ya da üç zarı bin kez atın ve her sonucun ne sıklıkla geldiğini gösteren çubuk grafiği beklenen sıklıklarla karşılaştırın. 7’nin neden en sık gelen toplam olduğunu görün.
Galton tahtası
Topları çivi sıralarının arasından bırakın ve bölmelerin çan eğrisi biçiminde dolmasını izleyin. Sıra sayısını, eğilimi ve top sayısını değiştirin; ortalamayı ve yayılımı teoriyle karşılaştırın.
Kumarbaz yanılgısı
Hilesiz bir parayı saniyede 100 kez atın ve üst üste 5 ya da 8 turalık her serinin ardından ne geldiğini görün. Yine 50/50: paranın hafızası yoktur.
Monty Hall problemi
Monty Hall problemini deneyin: üç kapıdan birini seçin, Monty’nin arkasında keçi olan bir kapıyı açmasını izleyin, sonra kalın ya da değiştirin. Kendiniz oynayın ya da bilgisayara 1.000 oyun oynatın ve değiştirmenin üç oyunun ikisinde kazandığını görün.
Bunu denemeye hazır mısın?
Pencere PictorX tarayıcınızda - yükleme yok, başlamak için gerekli kredi kartı yok.
Editöre Git