π Monte Carlo
Bisakah kebetulan murni menghitung bilangan yang pasti? Gambar lingkaran di dalam persegi dan lempar anak panah ke sana secara acak. Lingkaran menutupi π/4 dari persegi, jadi sekitar π/4 anak panah mendarat di dalamnya. Kalikan bagian itu dengan empat dan Anda mendapat estimasi π. Makin banyak anak panah, makin dekat hasilnya: 3, lalu 3,1, lalu 3,14, lalu 3,141… Tekan Mulai dan anak panah mendarat secara acak di dalam persegi. Bagian yang mendarat di dalam lingkaran adalah π/4, jadi π ≈ 4 × di dalam ÷ anak panah. Makin banyak anak panah, makin dekat estimasinya: anak panah seratus kali lebih banyak memberi kira-kira satu digit benar lagi. Klik persegi untuk melempar anak panah dengan tangan.
cara itu works
- Tekan Mulai. Anak panah mendarat secara acak di dalam persegi: biru di dalam lingkaran, merah di luarnya.
- Perhatikan penghitungnya: π ≈ 4 × di dalam ÷ anak panah. Digit yang sudah cocok dengan π diberi warna.
- Naikkan kecepatan atau lempar sejuta anak panah sekaligus, dan lihat estimasinya menetap di dalam pita yang makin sempit pada grafik.
Mengapa anak panah menemukan π
Persegi memiliki sisi sepanjang 2 dan lingkaran di dalamnya berjari-jari 1. Luas persegi adalah 4 dan luas lingkaran π × 1² = π. Anak panah yang berpeluang sama untuk mendarat di mana saja di dalam persegi akan mendarat di dalam lingkaran dengan peluang π/4, sekitar 78,5%. Hitung anak panahnya, hitung yang kena, dan 4 × kena ÷ anak panah memperkirakan π. Seperempat lingkaran bekerja dengan cara yang sama: seperempat lingkaran berjari-jari 1 di dalam persegi bersisi 1 juga menutupi π/4 dari persegi itu.
Hukum bilangan besar
Satu anak panah tidak memberi tahu apa-apa: hasilnya 4 atau 0. Seratus anak panah memberi hasil seperti 3,0 atau 3,3. Sepuluh ribu anak panah biasanya hanya meleset beberapa perseratus dari π. Hukum bilangan besar menyatakan bahwa bagian yang kena makin mendekati π/4 seiring bertambahnya jumlah anak panah, sehingga estimasinya konvergen ke π.
Mengapa konvergensinya lambat
Galat khas setelah N anak panah sekitar 1,64/√N. Untuk membagi dua galatnya, Anda butuh anak panah empat kali lebih banyak, dan satu digit benar tambahan butuh seratus kali lebih banyak. Pita berbayang pada grafik memuat 95% dari semua percobaan dan menyempit seperti 1/√N. Sejuta anak panah menyisakan galat sekitar 0,0016: tiga atau empat desimal yang benar.
Metode Monte Carlo
Metode ini dinamai menurut kasino di Monako. Pada tahun 1940-an, Stanislaw Ulam dan John von Neumann memakai pengambilan sampel acak untuk mengikuti neutron yang menembus materi, masalah yang terlalu rumit untuk rumus. Kini simulasi Monte Carlo dipakai untuk menentukan harga opsi keuangan, merender cahaya dalam film animasi, meramalkan cuaca, dan menguji obat. Melempar anak panah ke lingkaran adalah contoh paling sederhana dari gagasan ini: ganti perhitungan yang sulit dengan banyak percobaan acak.
Pertanyaan yang sering diajukan
Bagaimana anak panah acak menghitung π?
Lingkaran menutupi π/4 dari persegi di sekelilingnya. Jika anak panah mendarat secara acak dan merata, sekitar π/4 di antaranya mengenai lingkaran, sehingga empat kali bagian yang kena adalah estimasi π.
Berapa banyak anak panah yang saya perlukan untuk 3,14?
Biasanya puluhan ribu. Galatnya menyusut seperti 1,64/√N: 10.000 anak panah biasanya meleset sekitar 0,016 dan 1.000.000 anak panah sekitar 0,0016. Setiap digit benar tambahan butuh anak panah seratus kali lebih banyak.
Apakah ini sama dengan jarum Buffon?
Keduanya memperkirakan π dengan kebetulan. Jarum Buffon menjatuhkan jarum ke garis-garis dan menghitung persilangannya; metode Monte Carlo melempar titik ke lingkaran. Anak panah lebih mudah dipahami dan konvergen lebih cepat: untuk jumlah lemparan yang sama, galatnya sekitar sepertiga galat eksperimen setengah jarum Buffon.
Apakah anak panahnya benar-benar acak?
Anak panah berasal dari pembangkit bilangan acak semu di browser Anda, yang lebih dari cukup untuk eksperimen ini. Setiap percobaan berbeda, itulah sebabnya estimasinya berkelana sebelum menetap.
Apakah ada yang diunggah?
Tidak. Semuanya dihitung dan digambar di kanvas di browser Anda. "Simpan" mengunduh PNG. "Sunting" membuka gambar itu di editor PictorX.
Related alat
Metode Monte Carlo dan π
Bagaimana anak panah acak memperkirakan π: argumen luas di balik 4 × di dalam ÷ anak panah, hukum bilangan besar, mengapa galat menyusut seperti 1/√N, dan dari mana metode Monte Carlo berasal.
Jarum Buffon
Jatuhkan jarum ke lantai bergaris di browser. Hitung persilangannya dan saksikan eksperimen Buffon tahun 1777 memperkirakan π.
Lempar dadu
Lempar satu, dua, atau tiga dadu seribu kali dan bandingkan diagram batang tentang seberapa sering setiap hasil muncul dengan frekuensi harapannya. Lihat mengapa 7 adalah jumlah yang paling sering muncul.
Papan Galton
Jatuhkan bola melalui baris-baris pasak dan lihat kurva lonceng mengisi wadah. Ubah jumlah baris, kecondongan, dan jumlah bola, lalu bandingkan rata-rata dan sebaran dengan teori.
Kekeliruan penjudi
Lempar koin seimbang 100 kali per detik dan lihat apa yang muncul setelah setiap rentetan 5 atau 8 gambar berturut-turut. Tetap 50/50: koin tidak punya ingatan.
Masalah Monty Hall
Coba masalah Monty Hall: pilih satu dari tiga pintu, lihat Monty membuka pintu berisi kambing, lalu tetap atau ganti. Main sendiri atau biarkan komputer memainkan 1.000 permainan dan lihat bahwa mengganti menang dua dari tiga kali.
Siap ke coba itu?
Buka PictorX di browser Anda — tidak instalasi, tidak credit kartu diperlukan ke mulai.
Ke Editor