Monte Carlo-simulering av π | Skatta pi med slumpmässiga pilar

Hur det fungerar

Tryck på Starta. Pilarna landar slumpmässigt i kvadraten: blå innanför cirkeln, röda utanför.
Titta på räknaren: π ≈ 4 × innanför ÷ pilar. Siffrorna som redan stämmer med π är färgade.
Öka farten eller kasta en miljon pilar på en gång, och se skattningen stabilisera sig inom det allt smalare bandet i diagrammet.

Varför pilarna hittar π

Kvadraten har sidan 2 och cirkeln i den har radien 1. Kvadratens area är 4 och cirkelns är π × 1² = π. En pil som lika gärna kan landa var som helst i kvadraten hamnar innanför cirkeln med sannolikheten π/4, ungefär 78,5 %. Räkna pilarna, räkna träffarna, så skattar 4 × träffar ÷ pilar π. Kvartscirkeln fungerar på samma sätt: en fjärdedel av en cirkel med radien 1 i en kvadrat med sidan 1 täcker också π/4 av den.

Stora talens lag

En enda pil säger ingenting: den ger 4 eller 0. Hundra pilar ger något i stil med 3,0 eller 3,3. Tiotusen pilar hamnar oftast inom några hundradelar från π. Stora talens lag säger att andelen träffar kommer allt närmare π/4 när antalet pilar växer, så skattningen konvergerar mot π.

Varför den konvergerar långsamt

Det typiska felet efter N pilar är ungefär 1,64/√N. För att halvera felet behöver du fyra gånger så många pilar, och en korrekt siffra till kostar hundra gånger så många. Det skuggade bandet i diagrammet rymmer 95 % av alla körningar och smalnar av som 1/√N. En miljon pilar lämnar ett fel på ungefär 0,0016: tre eller fyra korrekta decimaler.

Monte Carlo-metoder

Metoden har fått sitt namn efter kasinot i Monaco. På 1940-talet använde Stanislaw Ulam och John von Neumann slumpmässiga urval för att följa neutroner genom materia, ett problem som var för snårigt för formler. I dag används Monte Carlo-simuleringar för att prissätta finansiella optioner, beräkna ljuset i animerade filmer, förutsäga vädret och testa läkemedel. Att kasta pilar mot en cirkel är det enklaste exemplet på idén: ersätt en svår beräkning med många slumpmässiga experiment.

Ofta ställda frågor

Hur kan slumpmässiga pilar räkna ut π?

Cirkeln täcker π/4 av kvadraten runt den. När pilarna landar likformigt slumpmässigt träffar ungefär π/4 av dem cirkeln, så fyra gånger andelen träffar är en skattning av π.

Hur många pilar behöver jag för 3,14?

Oftast tiotusentals. Felet krymper som 1,64/√N: 10 000 pilar hamnar typiskt omkring 0,016 fel och 1 000 000 pilar omkring 0,0016. Varje extra korrekt siffra kostar hundra gånger så många pilar.

Är det samma sak som Buffons nål?

Båda skattar π med hjälp av slumpen. Buffons nål släpper nålar på linjer och räknar korsningarna; Monte Carlo-metoden kastar punkter mot en cirkel. Pilarna är lättare att förstå och konvergerar snabbare: med lika många kast är felet ungefär en tredjedel av felet i Buffons experiment med halv nål.

Är pilarna verkligen slumpmässiga?

De kommer från webbläsarens generator av pseudoslumptal, som är mer än tillräckligt bra för det här experimentet. Varje körning är olika, och därför vandrar skattningen innan den stabiliserar sig.

Laddas något upp?

Nej. Allt beräknas och ritas på en duk i din webbläsare. ”Spara” laddar ned en PNG. ”Redigera” öppnar bilden i PictorX-redigeraren.