Simulator Monte Carlo pentru π | Estimează pi cu săgeți aleatorii

Cum funcţionează

Apasă Start. Săgețile cad la întâmplare în pătrat: albastre în cerc, roșii în afara lui.
Urmărește contorul: π ≈ 4 × înăuntru ÷ săgeți. Cifrele care se potrivesc deja cu π sunt colorate.
Mărește viteza sau aruncă un milion de săgeți deodată și privește cum estimarea se așază în banda tot mai îngustă de pe grafic.

De ce găsesc săgețile numărul π

Pătratul are latura 2, iar cercul din interior are raza 1. Aria pătratului este 4, iar a cercului π × 1² = π. O săgeată care poate cădea la fel de probabil oriunde în pătrat ajunge în cerc cu probabilitatea π/4, adică aproximativ 78,5%. Numără săgețile, numără loviturile, iar 4 × lovituri ÷ săgeți estimează π. Sfertul de cerc funcționează la fel: un sfert dintr-un cerc de rază 1 într-un pătrat de latură 1 acoperă tot π/4 din el.

Legea numerelor mari

O singură săgeată nu îți spune nimic: dă 4 sau 0. O sută de săgeți dau ceva de genul 3,0 sau 3,3. Zece mii de săgeți ajung de obicei la câteva sutimi de π. Legea numerelor mari spune că proporția loviturilor se apropie tot mai mult de π/4 pe măsură ce crește numărul de săgeți, așa că estimarea converge la π.

De ce converge încet

Eroarea tipică după N săgeți este de aproximativ 1,64/√N. Ca să înjumătățești eroarea ai nevoie de patru ori mai multe săgeți, iar o cifră corectă în plus costă de o sută de ori mai multe. Banda umbrită de pe grafic cuprinde 95% din toate simulările și se îngustează ca 1/√N. Un milion de săgeți lasă o eroare de aproximativ 0,0016: trei sau patru zecimale corecte.

Metodele Monte Carlo

Metoda poartă numele cazinoului din Monaco. În anii 1940, Stanislaw Ulam și John von Neumann au folosit eșantionarea aleatorie ca să urmărească neutronii prin materie, o problemă prea încâlcită pentru formule. Astăzi, simulările Monte Carlo evaluează opțiuni financiare, calculează lumina în filmele de animație, prognozează vremea și testează medicamente. Aruncarea săgeților într-un cerc este cel mai simplu exemplu al ideii: înlocuiește un calcul greu cu multe experimente aleatorii.

Întrebări frecvente

Cum calculează π niște săgeți aleatorii?

Cercul acoperă π/4 din pătratul din jurul lui. Când săgețile cad uniform la întâmplare, cam π/4 dintre ele nimeresc cercul, așa că de patru ori proporția loviturilor este o estimare a lui π.

De câte săgeți am nevoie pentru 3,14?

De obicei, de zeci de mii. Eroarea scade ca 1,64/√N: cu 10.000 de săgeți diferența tipică e de aproximativ 0,016, iar cu 1.000.000 de săgeți de aproximativ 0,0016. Fiecare cifră corectă în plus costă de o sută de ori mai multe săgeți.

Este același lucru cu acul lui Buffon?

Ambele estimează π cu ajutorul întâmplării. Acul lui Buffon lasă ace să cadă pe linii și numără intersecțiile; metoda Monte Carlo aruncă puncte într-un cerc. Săgețile sunt mai ușor de înțeles și converg mai repede: la același număr de aruncări, eroarea este cam o treime din cea a experimentului lui Buffon cu jumătate de ac.

Sunt săgețile chiar aleatorii?

Provin din generatorul de numere pseudoaleatorii al browserului tău, care este mai mult decât suficient pentru acest experiment. Fiecare simulare e diferită, de aceea estimarea rătăcește înainte să se stabilizeze.

Se încarcă ceva pe internet?

Nu. Totul se calculează și se desenează pe o pânză în browserul tău. „Salvează” descarcă un PNG. „Editează” deschide imaginea în editorul PictorX.