Mô phỏng Monte Carlo tính π | Ước lượng số pi bằng phi tiêu ngẫu nhiên

Cách nó hoạt động

Nhấn Bắt đầu. Phi tiêu rơi ngẫu nhiên vào hình vuông: màu xanh dương bên trong hình tròn, màu đỏ bên ngoài.
Theo dõi bộ đếm: π ≈ 4 × bên trong ÷ phi tiêu. Những chữ số đã khớp với π được tô màu.
Tăng tốc độ hoặc phóng một triệu phi tiêu cùng lúc, và xem ước lượng ổn định trong dải ngày càng hẹp trên biểu đồ.

Vì sao phi tiêu tìm ra π

Hình vuông có cạnh dài 2 và hình tròn bên trong có bán kính 1. Diện tích hình vuông là 4 và diện tích hình tròn là π × 1² = π. Một phi tiêu có khả năng rơi vào mọi chỗ trong hình vuông như nhau sẽ rơi vào hình tròn với xác suất π/4, khoảng 78,5%. Đếm số phi tiêu, đếm số lần trúng, và 4 × trúng ÷ phi tiêu sẽ ước lượng π. Một phần tư hình tròn cũng vậy: một phần tư hình tròn bán kính 1 trong hình vuông cạnh 1 cũng chiếm π/4 hình vuông đó.

Luật số lớn

Một phi tiêu không cho bạn biết gì: nó cho 4 hoặc 0. Một trăm phi tiêu cho kết quả kiểu 3,0 hoặc 3,3. Mười nghìn phi tiêu thường chỉ lệch π ở chữ số thứ hai sau dấu phẩy. Luật số lớn nói rằng tỉ lệ trúng ngày càng gần π/4 khi số phi tiêu tăng lên, nên ước lượng hội tụ về π.

Vì sao hội tụ chậm

Sai số điển hình sau N phi tiêu vào khoảng 1,64/√N. Muốn giảm sai số đi một nửa, bạn cần gấp bốn lần số phi tiêu, và thêm một chữ số đúng thì tốn gấp trăm lần. Dải tô bóng trên biểu đồ chứa 95% tổng số lượt chạy và hẹp lại theo 1/√N. Một triệu phi tiêu để lại sai số khoảng 0,0016: ba hoặc bốn chữ số thập phân đúng.

Các phương pháp Monte Carlo

Phương pháp này được đặt theo tên sòng bạc ở Monaco. Vào thập niên 1940, Stanislaw Ulam và John von Neumann dùng lấy mẫu ngẫu nhiên để theo dấu neutron đi xuyên qua vật chất, một bài toán quá rối rắm để giải bằng công thức. Ngày nay, mô phỏng Monte Carlo được dùng để định giá quyền chọn tài chính, kết xuất ánh sáng trong phim hoạt hình, dự báo thời tiết và thử nghiệm thuốc. Phóng phi tiêu vào hình tròn là ví dụ đơn giản nhất của ý tưởng này: thay một phép tính khó bằng nhiều thí nghiệm ngẫu nhiên.

Hỏi thường xuyên

Phi tiêu ngẫu nhiên tính π bằng cách nào?

Hình tròn chiếm π/4 hình vuông bao quanh nó. Khi phi tiêu rơi ngẫu nhiên đều khắp, khoảng π/4 số phi tiêu trúng hình tròn, nên bốn lần tỉ lệ trúng là một ước lượng của π.

Cần bao nhiêu phi tiêu để được 3,14?

Thường là vài chục nghìn. Sai số giảm theo 1,64/√N: 10.000 phi tiêu thường lệch khoảng 0,016 và 1.000.000 phi tiêu lệch khoảng 0,0016. Mỗi chữ số đúng thêm tốn gấp trăm lần số phi tiêu.

Đây có giống kim Buffon không?

Cả hai đều ước lượng π bằng sự ngẫu nhiên. Kim Buffon thả kim lên các đường kẻ và đếm số lần cắt; phương pháp Monte Carlo phóng các điểm vào hình tròn. Phi tiêu dễ hiểu hơn và hội tụ nhanh hơn: với cùng số lần ném, sai số chỉ bằng khoảng một phần ba so với thí nghiệm nửa kim của Buffon.

Phi tiêu có thật sự ngẫu nhiên không?

Chúng đến từ bộ tạo số giả ngẫu nhiên của trình duyệt, vốn dư sức cho thí nghiệm này. Mỗi lượt chạy đều khác nhau, đó là lý do ước lượng dao động trước khi ổn định.

Có tải gì lên không?

Không. Mọi thứ được tính toán và vẽ trên canvas ngay trong trình duyệt của bạn. "Lưu" tải xuống một tệp PNG. "Chỉnh sửa" mở ảnh đó trong trình chỉnh sửa PictorX.