Monte-Carlosimulatie van π | Pi schatten met willekeurige pijltjes

Hoe het werkt

Druk op Start. Pijltjes landen willekeurig in het vierkant: blauw binnen de cirkel, rood erbuiten.
Kijk naar de teller: π ≈ 4 × binnen ÷ pijltjes. De cijfers die al met π overeenkomen, zijn gekleurd.
Zet de snelheid hoger of gooi een miljoen pijltjes tegelijk, en zie hoe de schatting tot rust komt binnen de smaller wordende band in de grafiek.

Waarom de pijltjes π vinden

Het vierkant heeft zijden van lengte 2 en de cirkel erin heeft straal 1. De oppervlakte van het vierkant is 4 en die van de cirkel π × 1² = π. Een pijltje dat overal in het vierkant even waarschijnlijk landt, komt met kans π/4 in de cirkel terecht, ongeveer 78,5%. Tel de pijltjes, tel de treffers, en 4 × treffers ÷ pijltjes schat π. De kwartcirkel werkt net zo: een kwart van een cirkel met straal 1 in een vierkant met zijde 1 bedekt daar ook π/4 van.

De wet van de grote aantallen

Eén pijltje zegt niets: het geeft 4 of 0. Honderd pijltjes geven zoiets als 3,0 of 3,3. Tienduizend pijltjes zitten meestal binnen een paar honderdsten van π. De wet van de grote aantallen zegt dat het deel treffers steeds dichter bij π/4 komt naarmate het aantal pijltjes groeit, dus de schatting convergeert naar π.

Waarom het traag convergeert

De typische fout na N pijltjes is ongeveer 1,64/√N. Om de fout te halveren heb je vier keer zoveel pijltjes nodig, en één juist cijfer meer kost honderd keer zoveel. De gearceerde band in de grafiek bevat 95% van alle simulaties en wordt smaller als 1/√N. Een miljoen pijltjes laten een fout van ongeveer 0,0016 over: drie of vier juiste decimalen.

Monte-Carlomethoden

De methode is genoemd naar het casino in Monaco. In de jaren 1940 gebruikten Stanislaw Ulam en John von Neumann willekeurige steekproeven om neutronen door materie te volgen, een probleem dat te ingewikkeld was voor formules. Tegenwoordig bepalen Monte-Carlosimulaties de prijs van financiële opties, berekenen ze het licht in animatiefilms, voorspellen ze het weer en testen ze medicijnen. Pijltjes naar een cirkel gooien is het eenvoudigste voorbeeld van het idee: vervang een moeilijke berekening door veel willekeurige experimenten.

Veelgestelde vragen

Hoe berekenen willekeurige pijltjes π?

De cirkel bedekt π/4 van het vierkant eromheen. Als pijltjes gelijkmatig willekeurig landen, raakt ongeveer π/4 ervan de cirkel, dus vier keer het deel treffers is een schatting van π.

Hoeveel pijltjes heb ik nodig voor 3,14?

Meestal tienduizenden. De fout krimpt als 1,64/√N: bij 10.000 pijltjes zit je doorgaans zo’n 0,016 ernaast en bij 1.000.000 pijltjes zo’n 0,0016. Elk extra juist cijfer kost honderd keer zoveel pijltjes.

Is dit hetzelfde als de naald van Buffon?

Beide schatten π met toeval. Bij de naald van Buffon vallen naalden op lijnen en tel je de kruisingen; de Monte-Carlomethode gooit punten naar een cirkel. De pijltjes zijn makkelijker te begrijpen en convergeren sneller: bij hetzelfde aantal worpen is de fout ongeveer een derde van die van Buffons experiment met de halve naald.

Zijn de pijltjes echt willekeurig?

Ze komen uit de pseudowillekeurige getallengenerator van je browser, en die is voor dit experiment ruim goed genoeg. Elke simulatie is anders, en daarom zwerft de schatting rond voordat ze tot rust komt.

Wordt er iets geüpload?

Nee. Alles wordt in je browser berekend en op een canvas getekend. ‘Opslaan’ downloadt een PNG. ‘Bewerken’ opent die afbeelding in de PictorX-editor.