モンテカルロ法で π を求めるシミュレーター | ランダムなダーツで円周率を推定

使い方

スタートを押します。ダーツが正方形の中にランダムに落ちます。円の内側は青、外側は赤です。
カウンターを見ます。π ≈ 4 × 内側 ÷ ダーツです。すでに π と一致している桁は色付きで表示されます。
速度を上げるか100万本のダーツを一度に投げて、グラフ上で狭まっていく帯の中に推定値が落ち着く様子を見ます。

ダーツが π を見つける理由

正方形の1辺の長さは2で、その中の円の半径は1です。正方形の面積は4、円の面積は π × 1² = π です。正方形のどこにでも同じ確率で落ちるダーツは、確率 π/4、つまり約78.5%で円の内側に入ります。ダーツの数と当たりの数を数えれば、4 × 当たり ÷ ダーツで π を推定できます。四分円でも同じです。1辺が1の正方形の中にある半径1の四分円も、正方形の π/4 を占めます。

大数の法則

1本のダーツでは何もわかりません。結果は4か0です。100本なら3.0や3.3くらいになります。1万本なら、π との差はたいてい百分の数程度に収まります。大数の法則によれば、ダーツの数が増えるにつれて当たりの割合は π/4 にどんどん近づくので、推定値は π に収束します。

収束が遅い理由

N 本投げた後の典型的な誤差はおよそ 1.64/√N です。誤差を半分にするには4倍のダーツが必要で、正しい桁を1つ増やすには100倍が必要です。グラフの影付きの帯はすべての試行の95%を含み、1/√N のように狭まっていきます。100万本のダーツでも誤差はおよそ0.0016で、小数点以下3〜4桁が正しい程度です。

モンテカルロ法

この方法の名前はモナコのカジノに由来します。1940年代、スタニスワフ・ウラムとジョン・フォン・ノイマンは、数式で扱うには複雑すぎる問題だった物質中の中性子の動きを、ランダムサンプリングで追いました。今日、モンテカルロ・シミュレーションは金融オプションの価格決定、アニメーション映画の光の描画、天気予報、医薬品の試験に使われています。円にダーツを投げるのは、このアイデアの最も簡単な例です。難しい計算を、たくさんのランダムな実験に置き換えるのです。