π por Montecarlo
¿Puede el puro azar calcular un número exacto? Dibuja un círculo dentro de un cuadrado y lánzale dardos al azar. El círculo cubre π/4 del cuadrado, así que aproximadamente π/4 de los dardos caen dentro. Multiplica esa proporción por cuatro y tendrás una estimación de π. Cuantos más dardos, más se acerca: 3, luego 3,1, luego 3,14, luego 3,141… Pulsa Iniciar y los dardos caen al azar en el cuadrado. La proporción que cae dentro del círculo es π/4, así que π ≈ 4 × dentro ÷ dardos. Cuantos más dardos, más precisa la estimación: cien veces más dardos dan aproximadamente una cifra correcta más. Haz clic en el cuadrado para lanzar un dardo a mano.
como funciona
- Pulsa Iniciar. Los dardos caen al azar en el cuadrado: azules dentro del círculo, rojos fuera.
- Mira el contador: π ≈ 4 × dentro ÷ dardos. Las cifras que ya coinciden con π aparecen en color.
- Sube la velocidad o lanza un millón de dardos de golpe, y mira cómo la estimación se asienta dentro de la banda cada vez más estrecha del gráfico.
Por qué los dardos encuentran π
El cuadrado tiene lados de longitud 2 y el círculo de dentro tiene radio 1. El área del cuadrado es 4 y la del círculo es π × 1² = π. Un dardo que tiene la misma probabilidad de caer en cualquier punto del cuadrado cae dentro del círculo con probabilidad π/4, alrededor del 78,5 %. Cuenta los dardos, cuenta los aciertos, y 4 × aciertos ÷ dardos estima π. El cuarto de círculo funciona igual: un cuarto de círculo de radio 1 en un cuadrado de lado 1 también cubre π/4 de él.
La ley de los grandes números
Un solo dardo no dice nada: da 4 o 0. Cien dardos dan algo como 3,0 o 3,3. Diez mil dardos suelen quedar a pocas centésimas de π. La ley de los grandes números dice que la proporción de aciertos se acerca cada vez más a π/4 a medida que crece el número de dardos, así que la estimación converge a π.
Por qué converge despacio
El error típico tras N dardos es de aproximadamente 1,64/√N. Para reducir el error a la mitad necesitas cuatro veces más dardos, y una cifra correcta más cuesta cien veces más. La banda sombreada del gráfico contiene el 95 % de todas las simulaciones y se estrecha como 1/√N. Un millón de dardos deja un error de unos 0,0016: tres o cuatro decimales correctos.
Los métodos de Montecarlo
El método debe su nombre al casino de Mónaco. En los años cuarenta, Stanislaw Ulam y John von Neumann usaron el muestreo aleatorio para seguir neutrones a través de la materia, un problema demasiado enrevesado para las fórmulas. Hoy las simulaciones de Montecarlo ponen precio a opciones financieras, calculan la luz en las películas de animación, predicen el tiempo y prueban medicamentos. Lanzar dardos a un círculo es el ejemplo más sencillo de la idea: sustituir un cálculo difícil por muchos experimentos aleatorios.
Preguntas frecuentes
¿Cómo calculan π unos dardos al azar?
El círculo cubre π/4 del cuadrado que lo rodea. Cuando los dardos caen uniformemente al azar, aproximadamente π/4 de ellos dan en el círculo, así que cuatro veces la proporción de aciertos es una estimación de π.
¿Cuántos dardos necesito para llegar a 3,14?
Normalmente decenas de miles. El error disminuye como 1,64/√N: con 10 000 dardos la diferencia típica es de unos 0,016 y con 1 000 000 de dardos, de unos 0,0016. Cada cifra correcta adicional cuesta cien veces más dardos.
¿Es lo mismo que la aguja de Buffon?
Ambos estiman π con el azar. La aguja de Buffon deja caer agujas sobre líneas y cuenta los cruces; el método de Montecarlo lanza puntos a un círculo. Los dardos son más fáciles de entender y convergen más rápido: con el mismo número de lanzamientos, el error es más o menos un tercio del del experimento de Buffon con media aguja.
¿Los dardos son realmente aleatorios?
Salen del generador de números pseudoaleatorios de tu navegador, que es más que suficiente para este experimento. Cada simulación es distinta, y por eso la estimación da vueltas antes de asentarse.
¿Se sube algo a internet?
No. Todo se calcula y se dibuja en un lienzo en tu navegador. «Guardar» descarga un PNG. «Editar» abre esa imagen en el editor de PictorX.
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El método de Montecarlo y π
Cómo los dardos al azar estiman π: el razonamiento de áreas detrás de 4 × dentro ÷ dardos, la ley de los grandes números, por qué el error disminuye como 1/√N y de dónde vienen los métodos de Montecarlo.
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