Monte Carlo-π
Kan ren tilfældighed beregne et eksakt tal? Tegn en cirkel inde i et kvadrat, og kast pile mod det helt tilfældigt. Cirklen dækker π/4 af kvadratet, så omtrent π/4 af pilene lander inden for den. Gang den andel med fire, og du har et estimat af π. Jo flere pile, jo tættere kommer det: 3, så 3,1, så 3,14, så 3,141… Tryk på Start, og pile lander tilfældigt i kvadratet. Andelen, der lander inden for cirklen, er π/4, så π ≈ 4 × indenfor ÷ pile. Jo flere pile, jo bedre estimat: hundrede gange så mange pile giver omtrent ét korrekt ciffer mere. Klik på kvadratet for at kaste en pil med hånden.
Sådan virker det
- Tryk på Start. Pilene lander tilfældigt i kvadratet: blå inden for cirklen, røde uden for den.
- Hold øje med tælleren: π ≈ 4 × indenfor ÷ pile. De cifre, der allerede passer med π, er farvede.
- Skru op for farten, eller kast en million pile på én gang, og se estimatet falde til ro i det stadig smallere bånd på grafen.
Hvorfor pilene finder π
Kvadratet har sider med længden 2, og cirklen inden i har radius 1. Kvadratets areal er 4, og cirklens er π × 1² = π. En pil, der lige så godt kan lande hvor som helst i kvadratet, lander inden for cirklen med sandsynligheden π/4, cirka 78,5 %. Tæl pilene, tæl træfferne, og 4 × træffere ÷ pile estimerer π. Kvartcirklen virker på samme måde: en fjerdedel af en cirkel med radius 1 i et kvadrat med siden 1 dækker også π/4 af det.
De store tals lov
Én pil siger ingenting: den giver 4 eller 0. Hundrede pile giver noget i retning af 3,0 eller 3,3. Ti tusind pile lander som regel inden for få hundrededele af π. De store tals lov siger, at andelen af træffere kommer stadig tættere på π/4, efterhånden som antallet af pile vokser, så estimatet konvergerer mod π.
Hvorfor det konvergerer langsomt
Den typiske fejl efter N pile er omkring 1,64/√N. For at halvere fejlen skal du bruge fire gange så mange pile, og ét korrekt ciffer mere koster hundrede gange så mange. Det skraverede bånd på grafen rummer 95 % af alle forsøg og bliver smallere som 1/√N. En million pile efterlader en fejl på omkring 0,0016: tre eller fire korrekte decimaler.
Monte Carlo-metoder
Metoden er opkaldt efter kasinoet i Monaco. I 1940’erne brugte Stanislaw Ulam og John von Neumann tilfældige stikprøver til at følge neutroner gennem stof, et problem, der var for indviklet til formler. I dag bruges Monte Carlo-simuleringer til at prissætte finansielle optioner, beregne lyset i animationsfilm, forudsige vejret og afprøve medicin. At kaste pile mod en cirkel er det enkleste eksempel på idéen: erstat en svær beregning med mange tilfældige eksperimenter.
Ofte stillede spørgsmål
Hvordan beregner tilfældige pile π?
Cirklen dækker π/4 af kvadratet omkring den. Når pile lander jævnt tilfældigt, rammer omtrent π/4 af dem cirklen, så fire gange andelen af træffere er et estimat af π.
Hvor mange pile skal jeg bruge for at få 3,14?
Som regel titusinder. Fejlen skrumper som 1,64/√N: 10.000 pile rammer typisk omkring 0,016 ved siden af og 1.000.000 pile omkring 0,0016. Hvert ekstra korrekt ciffer koster hundrede gange så mange pile.
Er det det samme som Buffons nål?
Begge estimerer π ved hjælp af tilfældighed. Buffons nål slipper nåle ned på linjer og tæller krydsningerne; Monte Carlo-metoden kaster punkter mod en cirkel. Pilene er lettere at forstå og konvergerer hurtigere: for det samme antal kast er fejlen omkring en tredjedel af fejlen i Buffons eksperiment med den halve nål.
Er pilene virkelig tilfældige?
De kommer fra din browsers generator af pseudotilfældige tal, som er mere end god nok til dette eksperiment. Hvert forsøg er forskelligt, og derfor vandrer estimatet, før det falder til ro.
Bliver der uploadet noget?
Nej. Alt beregnes og tegnes på et lærred i din browser. »Gem« downloader en PNG. »Rediger« åbner billedet i PictorX-editoren.
Relaterede værktøjer
Monte Carlo-metoden og π
Hvordan tilfældige pile estimerer π: arealargumentet bag 4 × indenfor ÷ pile, de store tals lov, hvorfor fejlen skrumper som 1/√N, og hvor Monte Carlo-metoderne kommer fra.
Buffons Nål
Slip nåle ned på et gulv med linjer i din browser. Tæl krydsningerne, og se Buffons eksperiment fra 1777 estimere π.
Terningkast
Slå med én, to eller tre terninger tusind gange, og sammenlign søjlediagrammet over, hvor tit hvert resultat kom, med de forventede hyppigheder. Se, hvorfor 7 er den hyppigste sum.
Galtonbræt
Slip kugler gennem rækker af søm, og se en klokkekurve fylde beholderne. Skift antallet af rækker, hældningen og antallet af kugler, og sammenlign middelværdi og spredning med teorien.
Spillerens fejlslutning
Kast en fair mønt 100 gange i sekundet, og se, hvad der kommer efter hver stime på 5 eller 8 gange krone i træk. Det er stadig 50/50: mønten har ingen hukommelse.
Monty Hall-problemet
Monty Hall-problemet til at prøve selv: Vælg en af tre døre, se Monty åbne en med en ged, og behold eller skift. Spil selv, eller lad computeren spille 1.000 spil, og se, at det vinder to gange ud af tre at skifte.
Er du klar til at prøve?
Åbn PictorX i din browser - ingen installation, ingen kreditkort kræves for at starte.
Gå til Editor