A sequência de Fibonacci
A sequência de Fibonacci é a lista de números em que cada termo é a soma dos dois anteriores. A mesma regra força o quociente de termos consecutivos para a razão áurea, e é por isso que a fórmula de Binet funciona.
Dois números e uma soma
A sequência costuma começar em F₀ = 0 e F₁ = 1. Para todo n pelo menos 2, Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Mais nada entra: sem fator extra e sem teste de par ou ímpar. A partir dessas duas sementes a lista fica completamente determinada: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
Os primeiros termos
F₂ = 1 + 0 = 1. F₃ = 1 + 1 = 2. F₄ = 2 + 1 = 3. F₅ = 3 + 2 = 5. Cada passo só olha uma e duas posições atrás. A sequência de Lucas usa a mesma soma com sementes diferentes, 2 e 1, e dá 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, … A aplicação pode traçar qualquer uma. Os quadrados da espiral usam os lados de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, …, de modo que cada quadrado novo encaixa no lado longo do retângulo já desenhado.
Por que as razões se aproximam de um número
Escreva rₙ = Fₙ / Fₙ₋₁. Os primeiros quocientes são 1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1,5, 5/3 ≈ 1,6667, 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 ≈ 1,6154. Oscilam acima e abaixo de um valor perto de 1,618, e a oscilação diminui. Suponha que os quocientes se estabilizam num limite r. Então, para n grande, Fₙ / Fₙ₋₁ e Fₙ₋₁ / Fₙ₋₂ valem ambos cerca de r. Divida a recorrência por Fₙ₋₁: Fₙ / Fₙ₋₁ = 1 + Fₙ₋₂ / Fₙ₋₁. No limite isso é r = 1 + 1/r. Multiplique por r e fica r² = r + 1, ou r² − r − 1 = 0. A fórmula quadrática dá r = (1 ± √5) / 2. A raiz positiva é a razão áurea φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.
A equação escondida na regra
Procure soluções da forma Fₙ = λⁿ. A recorrência torna-se λⁿ = λⁿ⁻¹ + λⁿ⁻². Divida por λⁿ⁻² e obtém λ² = λ + 1, a mesma equação de antes. As raízes são φ = (1 + √5) / 2 e ψ = (1 − √5) / 2. ψ vale cerca de −0,618, logo |ψ| < 1 e as suas potências encolhem para 0. Toda sequência que obedece à regra de Fibonacci é uma mistura destas duas potências. A razão áurea não é um facto colado depois. A equação φ² = φ + 1 é a recorrência escrita para uma sequência geométrica pura.
A fórmula de Binet
A mistura que começa em 0 e 1 é a fórmula de Binet, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Como |ψ| < 1, a segunda potência logo fica minúscula, e Fₙ é quase φⁿ / √5. A peça em falta é menor que 1/2 para todo n, logo arredondar φⁿ / √5 ao inteiro mais próximo dá o número de Fibonacci exato. A aplicação lista o termo exato, a potência de φ e o erro que encolhe lado a lado.
Uma regra linear, ao contrário de Collatz
Os números de Fibonacci seguem uma recorrência linear: o termo seguinte é uma combinação fixa dos anteriores, e não importa se são pares ou ímpares. A sequência de Collatz usa uma regra de paridade não linear, n/2 ou 3n+1, e ninguém provou que todo começo chega a 1. A regra de Fibonacci está completamente resolvida. A forma fechada, o crescimento e o limite da razão áurea saem de uma só equação quadrática. Mude as duas sementes, como faz a sequência de Lucas, e o limite continua φ, porque o limite vive na regra.
O ângulo de ouro
Uma volta completa dividida por φ² dá cerca de 137,5078°. Coloque sementes nesse ângulo fixo e deixe o raio crescer como a raiz quadrada do índice: os pontos empacotam-se em espirais. As espirais que se podem contar são números de Fibonacci consecutivos. É a vista de girassol da aplicação.
Explore-o no PictorX
Abra a sequência de Fibonacci para fazer os quadrados crescerem numa espiral, traçar as razões contra φ, verificar a fórmula de Binet ou espalhar sementes no ângulo de ouro. Mude para números de Lucas e as razões continuam a aproximar-se de φ. Arraste para mover, desloque para ampliação, depois guarde um PNG ou abra a tela no editor PictorX. Junte-a à conjetura de Collatz ou aos círculos de multiplicação para mais imagens tiradas de uma regra curta.
Perguntas frequentes
O que é a sequência de Fibonacci?
A sequência definida por F₀ = 0, F₁ = 1 e Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Começa 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
Por que a razão se aproxima da razão áurea?
Se os quocientes de termos consecutivos se estabilizam num limite r, a recorrência força r = 1 + 1/r, logo r² − r − 1 = 0. A solução positiva é φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.
O que é a fórmula de Binet?
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, com ψ = (1 − √5) / 2. A potência de ψ encolhe, logo Fₙ é o inteiro mais próximo de φⁿ / √5.
Os números de Lucas fazem o mesmo?
Sim. Os números de Lucas começam em 2 e 1 e depois usam a mesma soma. As suas razões consecutivas também se aproximam de φ, porque o limite vem da recorrência, não das duas sementes.
O desenho sai do meu dispositivo?
Não. A sequência, a espiral, o gráfico e as sementes são calculados no seu navegador. Guarde um PNG ou abra a tela no editor PictorX.
Ferramentas relacionadas
A sequência de Fibonacci
Cada número de Fibonacci é a soma dos dois anteriores. Veja os quadrados formarem uma espiral, os quocientes aproximarem-se da razão áurea e a fórmula de Binet reconstruir os mesmos números.
A conjetura de Collatz
Explore o problema de Collatz 3n+1 no seu navegador. Percorra sequências de granizo, faça crescer uma árvore de Collatz geométrica e aproxime o fractal de Collatz contínuo.
A conjetura de Collatz
A conjetura de Collatz é um dos enigmas por resolver mais famosos da matemática: regras simples de par e ímpar, números granizo, Erdős, Terence Tao e duas formas de ver os dados como geometria e como fractal.
Círculos de multiplicação
Ligue cada número de um círculo ao seu múltiplo. Desenhe uma tabuada, uma cardioide ou uma figura de fio em papel, a giz ou em madeira.
Espiral de Ulam
Desenhe a espiral de Ulam no seu navegador. Marque os primos, leia o polinómio quadrático de cada diagonal e abra a sequência ininterrupta de 40 primos de Euler.
A espiral de Ulam
Como a espiral de Stanisław Ulam de 1963 dispõe os inteiros numa grelha quadrada, porque é que os primos se juntam em diagonais quadráticas e onde ficam os quarenta primos de Euler quando a espiral começa em 41.
Pronto para experimentar?
Abra o PictorX em seu navegador – sem instalação, sem necessidade de cartão de crédito para iniciar.
Experimentar a sequência de Fibonacci